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Physique quantique : Exercices et applications
En d’autres termes, la variation du potentiel sur une longueur d’onde doit
être petite par rapport à l’énergie cinétique locale.
Pour obtenir l’approximation suivante, dont nous nous contenterons, on
reporte
d
2 Φ
dx 2 ≃
d
2 Φ 0
dx 2 = ±
dk
dx
dans (12.77), avec pour résultat
Φ
′ (x)=±
k 2 (x)+iΦ ′′ (x) ≃±
k 2 (x) ± ik ′ (x)
et en développant la racine carrée
Φ(x) ≃±
x
k(u) du +
i
2
x k
′ (u)
k(u)
du = ±
x
k(u) du +
i
2
ln k(x)
Le résultat pour ϕ(x) qui sera à la base de toute la discussion qui va suivre
est finalement
ϕ(x)=
1
k(x)
exp
±i
x
k(u) du
(12.80)
La probabilité de présence de la particule est proportionnelle à 1/k(x),c equ i
se comprend ainsi : dans un mouvement classique entre deux points x a et x b ,la
probabilité de présence dans un intervalle ∆x est inversement proportionnelle
à la vitesse de la particule, et donc à 1/k(x).
Lorsque E
k(x) → iκ(x)
κ
2 (x)=
2m[V (x) − E]
2
La déduction donnée ci-dessus de (12.80) perd toute validité lorsque E ≃
V (x), et il nous faut examiner ce qui se passe près d’un point où E = V (x),
appelé point de rebroussement
10 , car c’est en un tel point que la particule
classique rebrousse chemin : ce sont par exemple les points x 1 et x 2 de la
figure 1.15. Supposons donc que E = V (x) au point x =0 , et qu’en ce point
la pente de V (x) soit négative, de sorte que k(x) est imaginaire pour x<0 et
réel pour x>0 : la région permise classiquement correspond à x>0.P o u r
x<0, et suffisamment loin de x =0 , on peut écrire ϕ(x) sous forme d’une
combinaison linéraire des solutions indépendantes approchées de (12.75), avec
des coefficients B 1 et B 2
11
x<0:
ϕ(x)=
1
κ(x)
B 1 exp
x
0
κ(u) du
+ B 2 exp
−
x
0
κ(u) du
(12.81)
10. En anglais : turning point.
11. Il faut prendre garde au fait que l’argument de la première exponentielle dans (12.81)
est négatif : le terme dominant est B 2 !
Physique quantique : Exercices et applications
En d’autres termes, la variation du potentiel sur une longueur d’onde doit
être petite par rapport à l’énergie cinétique locale.
Pour obtenir l’approximation suivante, dont nous nous contenterons, on
reporte
d
2 Φ
dx 2 ≃
d
2 Φ 0
dx 2 = ±
dk
dx
dans (12.77), avec pour résultat
Φ
′ (x)=±
k 2 (x)+iΦ ′′ (x) ≃±
k 2 (x) ± ik ′ (x)
et en développant la racine carrée
Φ(x) ≃±
x
k(u) du +
i
2
x k
′ (u)
k(u)
du = ±
x
k(u) du +
i
2
ln k(x)
Le résultat pour ϕ(x) qui sera à la base de toute la discussion qui va suivre
est finalement
ϕ(x)=
1
k(x)
exp
±i
x
k(u) du
(12.80)
La probabilité de présence de la particule est proportionnelle à 1/k(x),c equ i
se comprend ainsi : dans un mouvement classique entre deux points x a et x b ,la
probabilité de présence dans un intervalle ∆x est inversement proportionnelle
à la vitesse de la particule, et donc à 1/k(x).
Lorsque E
k(x) → iκ(x)
κ
2 (x)=
2m[V (x) − E]
2
La déduction donnée ci-dessus de (12.80) perd toute validité lorsque E ≃
V (x), et il nous faut examiner ce qui se passe près d’un point où E = V (x),
appelé point de rebroussement
10 , car c’est en un tel point que la particule
classique rebrousse chemin : ce sont par exemple les points x 1 et x 2 de la
figure 1.15. Supposons donc que E = V (x) au point x =0 , et qu’en ce point
la pente de V (x) soit négative, de sorte que k(x) est imaginaire pour x<0 et
réel pour x>0 : la région permise classiquement correspond à x>0.P o u r
x<0, et suffisamment loin de x =0 , on peut écrire ϕ(x) sous forme d’une
combinaison linéraire des solutions indépendantes approchées de (12.75), avec
des coefficients B 1 et B 2
11
x<0:
ϕ(x)=
1
κ(x)
B 1 exp
x
0
κ(u) du
+ B 2 exp
−
x
0
κ(u) du
(12.81)
10. En anglais : turning point.
11. Il faut prendre garde au fait que l’argument de la première exponentielle dans (12.81)
est négatif : le terme dominant est B 2 !