12. Méthodes semi-classiques
509
exemple l’équation de Schrödinger à une dimension ou bien l’équation radiale
obtenue après séparation des variables. La généralisation sera décrite très
brièvement à la fin du § 12.4.4. L’équation de Schrödinger (8.67) indépendante
du temps pour une particule d’énergie E dans un espace à une dimension et
soumise à un potentiel V (x) peut s’écrire
d
2 ϕ
dx 2 + k
2 (x)ϕ(x)=0
(12.75)
si l’on définit k
2 (x) par
k
2 (x)=
p
2 (x)
2 =
2m[E − V (x)]
2
(12.76)
k(x) est un vecteur d’onde local et p(x) une impulsion locale. Ainsi que nous
l’avons déjà remarqué (cf. (8.68) et (8.69)), k(x) et p(x) sont réels dans une
région où E>V(x), qui est la région classiquement permise, et imaginaires
purs dans une région où E
−
dΦ
dx
2
+ i
d
2 Φ
dx 2
+ k
2 (x)=0
(12.77)
Examinons tout d’abord une région d’espace où E>V(x), k
2 (x) > 0.S il e
potentiel V (x) était indépendant de x, V (x)=V , nous aurions comme solution Φ(x)=±kx, k =
2m(E − V )/ 2 et d
2 Φ/dx
2 =0 .S iV (x) n’est pas
constant, mais varie peu sur une distance de l’ordre de la longueur d’onde
locale λ(x)=2π/k(x), nous nous attendons à ce que d
2 Φ/dx
2 soit petit comparativement aux deux autres termes de (12.77). L’approximation reposant
sur cette variation lente est appelée approximation BKW (Brillouin-KramersWentzel). En première approximation, on néglige d
2 Φ/dx
2 dans (12.77), et
notant Φ=Φ 0 cette approximation
dΦ 0
dx
= ±k(x)Φ 0 (x)=±
x
k(u)du
(12.78)
La condition de validité de cette approximation est |Φ
′′ |≪(Φ
′ )
2 ,s o i t
dk(x)
dx
≪ k
2 (x)
ce qui s’écrit, compte tenu de l’expression (12.76) de k
dk(x)
dx
=
m
2
dV
dx
1
k(x)
=
m
2π 2 λ(x)
dV
dx
≪ k
2 (x)
La condition de validité de l’approximation peut aussi se mettre sous la forme
λ(x)
dV
dx
≪
2π
2 k
2 (x)
m
=
2πp
2 (x)
m
(12.79)
509
exemple l’équation de Schrödinger à une dimension ou bien l’équation radiale
obtenue après séparation des variables. La généralisation sera décrite très
brièvement à la fin du § 12.4.4. L’équation de Schrödinger (8.67) indépendante
du temps pour une particule d’énergie E dans un espace à une dimension et
soumise à un potentiel V (x) peut s’écrire
d
2 ϕ
dx 2 + k
2 (x)ϕ(x)=0
(12.75)
si l’on définit k
2 (x) par
k
2 (x)=
p
2 (x)
2 =
2m[E − V (x)]
2
(12.76)
k(x) est un vecteur d’onde local et p(x) une impulsion locale. Ainsi que nous
l’avons déjà remarqué (cf. (8.68) et (8.69)), k(x) et p(x) sont réels dans une
région où E>V(x), qui est la région classiquement permise, et imaginaires
purs dans une région où E
−
dΦ
dx
2
+ i
d
2 Φ
dx 2
+ k
2 (x)=0
(12.77)
Examinons tout d’abord une région d’espace où E>V(x), k
2 (x) > 0.S il e
potentiel V (x) était indépendant de x, V (x)=V , nous aurions comme solution Φ(x)=±kx, k =
2m(E − V )/ 2 et d
2 Φ/dx
2 =0 .S iV (x) n’est pas
constant, mais varie peu sur une distance de l’ordre de la longueur d’onde
locale λ(x)=2π/k(x), nous nous attendons à ce que d
2 Φ/dx
2 soit petit comparativement aux deux autres termes de (12.77). L’approximation reposant
sur cette variation lente est appelée approximation BKW (Brillouin-KramersWentzel). En première approximation, on néglige d
2 Φ/dx
2 dans (12.77), et
notant Φ=Φ 0 cette approximation
dΦ 0
dx
= ±k(x)Φ 0 (x)=±
x
k(u)du
(12.78)
La condition de validité de cette approximation est |Φ
′′ |≪(Φ
′ )
2 ,s o i t
dk(x)
dx
≪ k
2 (x)
ce qui s’écrit, compte tenu de l’expression (12.76) de k
dk(x)
dx
=
m
2
dV
dx
1
k(x)
=
m
2π 2 λ(x)
dV
dx
≪ k
2 (x)
La condition de validité de l’approximation peut aussi se mettre sous la forme
λ(x)
dV
dx
≪
2π
2 k
2 (x)
m
=
2πp
2 (x)
m
(12.79)