508
Physique quantique : Exercices et applications
suivies par les particules. Le diagramme d’interférences est donc déterminé
par
ϕ1( r b )+e
iqΦ/ ϕ 2 ( r b )
2
En un point fixé r b , le diagramme d’interférences varie sinusoïdalement avec
Φ, avec une période
Φ 0 =
2π
q
=
h
q
≃ 4 × 10
−15 Wb
(12.74)
Si, par exemple, Φ=h/2q, un maximum d’interférences en l’absence de champ
est transformé en un minimum lorsque le solénoïde est présent. Cet effet du
solénoïde sur le diagramme d’interférences est appelé effet Aharonov-Bohm.
Le passage de particules chargées dans une région où
B =0,maisoù
A =0
produit donc des effets observables. Toutefois, l’effet est invariant de jauge,
puisque la modification du diagramme d’interférences ne dépend que du flux
du champ magnétique à travers C,e td o n cd e
B. Si un des deux chemins
pouvait être déformé dans l’autre sans rencontrer de région où
B =0, aucun
effet ne serait observable, même avec
A =0le long des trajectoires. Le facteur
exp(iqΦ/) est un exemple de facteur de phase topologique, lié au fait que la
topologie de l’espace n’est pas simplement connexe.
On peut donner deux interprétations de l’effet A-B.
(i) Le potentiel vecteur agit localement sur les particules chargées : l’argument de
A est la position r de la particule, et on doit accorder une
signification physique au potentiel vecteur.
(ii) Comme l’effet est invariant de jauge et peut se calculer en fonction du
seul champ
B, le potentiel est un intermédiaire commode, mais non
indispensable si l’on admet que l’on peut écrire des interactions non
locales entre les particules et le champ.
Le point de vue (i) a le mérite de la simplicité : les interactions sont écrites
de façon locale. Mais dans le cadre strict de l’électromagnétisme, il n’y a pas
d’argument décisif pour choisir le point de vue (i) plutôt que (ii). En revanche,
le point de vue (i) s’impose dans le cas des théories de jauge non abéliennes
(exercice 10.4.7), car dans ce cas même les champs ne sont pas invariants de
jauge, et il n’y a aucune raison de se compliquer la vie avec des interactions
non locales
9 .
12.4 L’approximation BKW
12.4.1 Forme asymptotique de la fonction d’onde
Dans cette section, nous allons exposer une méthode d’approximation qui
s’applique lorsque l’on a affaire à une équation différentielle ordinaire, par
9. Il existe aussi un effet A-B scalaire : voir par exemple Rauch et Werner [2000],
chapitre 6.
Physique quantique : Exercices et applications
suivies par les particules. Le diagramme d’interférences est donc déterminé
par
ϕ1( r b )+e
iqΦ/ ϕ 2 ( r b )
2
En un point fixé r b , le diagramme d’interférences varie sinusoïdalement avec
Φ, avec une période
Φ 0 =
2π
q
=
h
q
≃ 4 × 10
−15 Wb
(12.74)
Si, par exemple, Φ=h/2q, un maximum d’interférences en l’absence de champ
est transformé en un minimum lorsque le solénoïde est présent. Cet effet du
solénoïde sur le diagramme d’interférences est appelé effet Aharonov-Bohm.
Le passage de particules chargées dans une région où
B =0,maisoù
A =0
produit donc des effets observables. Toutefois, l’effet est invariant de jauge,
puisque la modification du diagramme d’interférences ne dépend que du flux
du champ magnétique à travers C,e td o n cd e
B. Si un des deux chemins
pouvait être déformé dans l’autre sans rencontrer de région où
B =0, aucun
effet ne serait observable, même avec
A =0le long des trajectoires. Le facteur
exp(iqΦ/) est un exemple de facteur de phase topologique, lié au fait que la
topologie de l’espace n’est pas simplement connexe.
On peut donner deux interprétations de l’effet A-B.
(i) Le potentiel vecteur agit localement sur les particules chargées : l’argument de
A est la position r de la particule, et on doit accorder une
signification physique au potentiel vecteur.
(ii) Comme l’effet est invariant de jauge et peut se calculer en fonction du
seul champ
B, le potentiel est un intermédiaire commode, mais non
indispensable si l’on admet que l’on peut écrire des interactions non
locales entre les particules et le champ.
Le point de vue (i) a le mérite de la simplicité : les interactions sont écrites
de façon locale. Mais dans le cadre strict de l’électromagnétisme, il n’y a pas
d’argument décisif pour choisir le point de vue (i) plutôt que (ii). En revanche,
le point de vue (i) s’impose dans le cas des théories de jauge non abéliennes
(exercice 10.4.7), car dans ce cas même les champs ne sont pas invariants de
jauge, et il n’y a aucune raison de se compliquer la vie avec des interactions
non locales
9 .
12.4 L’approximation BKW
12.4.1 Forme asymptotique de la fonction d’onde
Dans cette section, nous allons exposer une méthode d’approximation qui
s’applique lorsque l’on a affaire à une équation différentielle ordinaire, par
9. Il existe aussi un effet A-B scalaire : voir par exemple Rauch et Werner [2000],
chapitre 6.