20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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17.5.9 Forces réactives
1. Les valeurs propres et vecteurs propres sont donnés par (17.93). On
trouve
|χ 1n (z) : E 1n = −
1
2
δ 2 + nΩ 2
1 (z)
|χ 2n (z) : E 2n =
1
2
δ 2 + nΩ 2
1 (z)
La force sur l’atome dans l’état |χ 1n , par exemple, est
F 1n = −
∂E 1n
∂z
=
1
4
n
∂Ω
2
1
∂z
1
δ 2 + nΩ 2
1 (z)
et F 2n = −F 1n .
2. Les amplitudes de transition sont données par
a
n
11 = χ 1,n−1 |(b + b
† )|χ 1n = − sin θ n−1 cos θ n
a
n
21 = χ 2,n−1 |(b + b
† )|χ 1n =cosθ n−1 cos θ n
a
n
12 = χ 1,n−1 |(b + b
† )|χ 2n = − sin θ n−1 sin θ n
a
n
22 = χ 2,n−1 |(b + b
† )|χ 2n = − cos θ n−1 sin θ n
En choisissant convenablement la phase φ dans (17.56), on obtient pour la
valeur moyenne du champ E H (z, t) dans l’état cohérent |z,a v e c|z|
2 = n
z|E H (z, t)|z =2n
ω
ε 0 V
cos ωt sin kz
ce qui donne
ωn
ε 0 V
=
1
2
E 0
et pour le couplage atome-champ
Ω 1 (z)
n = dE 0 sin kz = ω 1 (z)
où ω 1 (z) est la fréquence de Rabi habituelle (cf. par exemple (15.36)).
3. On trouve immédiatement (θ n = θ)
p
st
1 =
sin
4 θ
cos 4 θ +sin
4 θ
p
st
2 =
cos
4 θ
cos 4 θ +sin
4 θ
D’après la question 1, la force sur l’atome dans l’état |χ 1 est
F 1 =
1
4
∂ω
2
1 (z)
∂z
1
Ω 1n (z)