20. Corrigés d’une sélection d’exercices
981
ce qui donne
P tot = −
π
2
240
c
L 4
On obtient l’énergie de point zéro par intégration
E 0 (L)=−
π
2
720
c
L 3
17.5.7 Observation non destructive de photons
1. On rappelle les résultats pour des atomes à deux niveaux |g et |e
interagissant avec un état à plusieurs photons : les états |ϕ
e
n = |e ⊗ n et
|ϕ
g
n = |g ⊗ (n +1) sont quasi dégénérés si la fréquence ω des photons est
voisine de ω 0 =(E e − E g )/, δ = ω − ω 0 . Les vecteurs propres |χ
±
n ainsi que
les énergies E
±
n sont donnés à une constante additive près par (17.93), voir la
figure 20.3
E
−
n
= −
1
2
δ 2 +(n +1)Ω 2
R
|χ
−
n = − sin θ n |ϕ
g
n +cosθ n |ϕ
e
n
E
+
n
=
1
2
δ 2 +(n +1)Ω 2
R
|χ
+
n =cosθ n |ϕ
g
n +sinθ n |ϕ
e
n
où l’angle θ n est défini par
tan 2θ n =
Ω R
√
n +1
δ
=
Ω n
δ
Ω R est la fréquence de Rabi du vide et Ω n =Ω R
√
n +1. Lorsque le désaccord
δ =0, tan(2θ n ) →∞et θ n = π/4. Les états propres sont alors
|χ
−
n =
1
√
2
(−|ϕ
g
n + |ϕ
e
n )
|χ
+
n =
1
√
2
(|ϕ
g
n + |ϕ
e
n )
Si au contraire δ →∞,a l o r sθ n → 0 et
|χ
−
n = |ϕ
e
n | χ
+
n = |ϕ
g
n
Ceci permet de tracer le diagramme des niveaux d’énergie E
±
n de la figure 20.3
donnant E
±
n en fonction de δ/Ω n . On observe qu’il n’y a pas croisement de
niveaux lorsque Ω n /δ ≪ 1 et on peut développer en fonction de ce paramètre
E
±
n ≃±
2
δ ±
Ω
2
n
4δ
= ±
2
δ ± (n +1)s 0
avec s 0 =Ω
2
R /(4δ). Le déplacement de |χ
+
n par rapport à |e ⊗ n est
∆ en = (n +1)s 0