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Physique quantique : Exercices et applications
Cette intégrale diverge aux grande fréquences (divergence dite ultraviolette).
On introduit un facteur de coupure χ, qui représente physiquement le fait
qu’un métal réel ne reste pas parfait aux grandes fréquences
E 0 (L)=
S
(2π) 2
∞
n=0
′
d
2 kω n ( k)χ
ω n ( k)
ω c
Posant
ω
2 =
c
2 π
2 n
2
L 2 + c
2 k
2 = ω
2
n + c
2 k
2
ω ≥ ω n
et effectuant le changement de variables
d
2 k =2πkdk =
2π
c 2 ωdω
on obtient
E 0 (L)=
S
2πc 2
∞
n=0
′
∞
ωn
dωω
2 χ
ω
ω c
ω n =
πcn
L
5. E 0 (L) dépend de L uniquement par l’intermédiaire de ω n = πnc/L et
dE 0 (L)
dL
= −
dω n
dL
S
2πc 2 ω
2
n χ
ω
ω c
=
πnc
L 2
S
2πc 2 ω
2
n χ
ω
ω c
On en déduit la pression interne
P int = −
1
S
dE 0 (L)
dL
= −
π
2 c
2L 4
∞
n=0
′ n
3 χ
ω
ω c
= −
π
2 c
2L 4
∞
n=0
′ g(n)
Le calcul de la pression extérieure s’obtient en prenant la limite L →∞ ,
puisqu’à l’extérieur le champ n’est pas confiné entre deux plaques. On peut
donc remplacer la somme discrète sur n par une intégrale
P ext = −
π
2 c
2L 4
∞
0
g(n)
La pression totale vaut
P tot = P int − P ext = −
π
2 c
2L 4
∞
n=0
′ g(n) −
∞
0
g(n)
D’après la formule d’Euler-Mac Laurin,
∞
n=0
′ g(n) −
∞
0
g(n)=
1
5!
+ O
πc
Lω 2
c