20. Corrigés d’une sélection d’exercices
979
on voit que toutes les oscillations sont en phase pour un temps t tel que
t =
4π
√
n 0
Ω R
=
π
√
2n 0
τ ≫ τ
On aura donc une résurgence de oscillations pour cette valeur de t.
17.5.6 Effet Casimir
1. Les seuls paramètres physiques à notre disposition sont L, (il s’agit
d’un problème quantique) et c (la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques). Avec ces trois paramètres, on peut former une seule quantité
ayant les dimensions d’une pression, à savoir c/L
4 .
2. Les modes stationnaires du champ électrique sont de la forme
E( r, t)=
e
i(xkx+yky) sin
πnz
L
e s ( ˆ
K) e
±iωK t
où n est un entier ≥ 0 et ω K = c|
K|.L o r s q u en =0 , le vecteur d’onde
tridimensionnel
K est de la forme
K =
k x ,k y , ±
πn
L
et il y a deux directions orthogonales indépendantes pour e s ( ˆ
K). L’annulation
de la composante tranverse du champ électrique
E pour z =0et z = L est
alors garantie par le facteur sin(πnz/L).Lorsquen =0, e s ( ˆ
K) doit être parallèle à Oz en raison de la condition d’annulation de la composante transverse
de
E et comme de plus e s ( ˆ
K) doit être orthogonal à k, il existe une seule
direction de polarisation.
3. À chaque vecteur k correspondent deux états de polarisation (sauf si
n =0) et l’énergie de point zéro est
E 0 (L)=
2
⎛
⎝ 2
n, k
′
ω n ( k)
⎞
⎠
4. À la limite continue, (cf. exercice 8.6.10), lorsque les dimensions
L x ,L y →∞
k
→
S
(2π) 2
d
2 k
mais comme L est fini, la somme sur n reste discrète, et
E 0 (L)=
S
(2π) 2
n, k
′
d
2 kω n ( k)
979
on voit que toutes les oscillations sont en phase pour un temps t tel que
t =
4π
√
n 0
Ω R
=
π
√
2n 0
τ ≫ τ
On aura donc une résurgence de oscillations pour cette valeur de t.
17.5.6 Effet Casimir
1. Les seuls paramètres physiques à notre disposition sont L, (il s’agit
d’un problème quantique) et c (la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques). Avec ces trois paramètres, on peut former une seule quantité
ayant les dimensions d’une pression, à savoir c/L
4 .
2. Les modes stationnaires du champ électrique sont de la forme
E( r, t)=
e
i(xkx+yky) sin
πnz
L
e s ( ˆ
K) e
±iωK t
où n est un entier ≥ 0 et ω K = c|
K|.L o r s q u en =0 , le vecteur d’onde
tridimensionnel
K est de la forme
K =
k x ,k y , ±
πn
L
et il y a deux directions orthogonales indépendantes pour e s ( ˆ
K). L’annulation
de la composante tranverse du champ électrique
E pour z =0et z = L est
alors garantie par le facteur sin(πnz/L).Lorsquen =0, e s ( ˆ
K) doit être parallèle à Oz en raison de la condition d’annulation de la composante transverse
de
E et comme de plus e s ( ˆ
K) doit être orthogonal à k, il existe une seule
direction de polarisation.
3. À chaque vecteur k correspondent deux états de polarisation (sauf si
n =0) et l’énergie de point zéro est
E 0 (L)=
2
⎛
⎝ 2
n, k
′
ω n ( k)
⎞
⎠
4. À la limite continue, (cf. exercice 8.6.10), lorsque les dimensions
L x ,L y →∞
k
→
S
(2π) 2
d
2 k
mais comme L est fini, la somme sur n reste discrète, et
E 0 (L)=
S
(2π) 2
n, k
′
d
2 kω n ( k)