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Physique quantique : Exercices et applications
distingués. Il faut donc sommer les probabilités de trouver l’atome dans l’état
|e ⊗ n
p n (t)=|a n (t)|
2 = e
−|z|
2 |z|
2n
n!
cos
2 Ω n t
2
et la probabilité de trouver l’atome dans l’état excité est
p(t)=
∞
n=0
p n (t)=
1
2
−
1
2
e
−|z|
2
∞
n=0
|z|
2n
n!
cos(Ω n t)
La transformée de Fourier de p(t) doit exhiber des pics à Ω 0 =Ω R , Ω 1 =
√
2Ω R , Ω 3 =
√
3Ω R ··· |z|
2 ≃ 0.9 est le nombre moyen de photons.
3. Pour |z|≫1,l af o n c t i o n
p n = e
−|z|
2 |z|
2n
n!
passe par un maximum pour n ≃ n 0 = |z|
2 et elle est approchée par une
gaussienne
p n ≃
1
√
2πn 0
exp
−
(n − n 0 )
2
2n 0
Posons u = n − n 0 ≪ n 0
Ω n =Ω n0+u ≃ Ω R
√
n 0
1+
u
n 0
de sorte que, en remplaçant la somme discrète par une intégrale
p(t) ≃
1
2
−
1
2
1
√ 2πn 0
+∞
−∞
e
−u
2 /2n0 cos
Ω n0 +
Ω R u
2
√
n 0
t
Compte tenu de
cos
Ω n0 +
Ω R u
2
√
n 0
t
=cos(Ω n0 t)cos
Ω R ut
2
√
n 0
− sin(Ω n0 t)sin
Ω R ut
2
√
n 0
et de ce que le deuxième terme ne contribue pas à l’intégrale, on obtient
p(t) ≃
1
2
−
1
2
cos(Ω n0 t)exp
−
Ω
2
R t
2
8
≃
1
2
−
1
2
cos(Ω n0 t)exp
−
t
2
τ 2
avec τ =2
√
2/Ω R . L’approximation de n par une variable continue reproduit
bien la décroissance initiale des oscillations. Cependant, si l’on écrit
Ω n ≃ Ω n0 +
Ω R (n − n 0 )
2
√
n 0