976
Physique quantique : Exercices et applications
et l’état final est donc
|Ψ 2 =
1
√
n!
1
2
e
iδ − 1
a
† +
i
2
e
iδ +1
b
†
n
|0 a 0 b
L’interféromètre envoie les photons suivant une loi binômiale dans chacun des
deux bras avec une probabilité (1 − cos δ)/2 et (1 + cos δ)/2 respectivement, et
les taux de comptage sont proportionnels à n(1 − cos δ)/2 et n(1 + cos δ)/2 :
le résultat est le même que pour n photons individuels successifs.
Pour un état cohérent, d’après (17.69)
|Ψ
′
1 = D a
e
iδ z/
√
2
D b
iz/
√
2
|0 a 0 b = D a (z a )D b (z b )|0 a 0 b
Toujours d’après (17.69),
UD a (z a )U
† = D a
z a /
√
2
D b
iz a /
√
2
UD b (z b )U
† = D a
iz b /
√
2
D b
z b /
√
2
On obtient pour |Ψ 2 en utilisant (10.42)
|Ψ 2 = e
iΦ D a
z a + iz b
√
2
D b
iz a + z b
√
2
|0 a 0 b
= e
iΦ
1
2
e
iδ − 1
z ⊗
i
2
e
iδ +1
z
d’où l’on déduit
Ψ 2 |a
† a|Ψ =
1
2
(1 − cos δ)
soit le même résultat que pour un photon unique.
2. Dans cette question, il est commode de choisir le point de vue de Heisenberg, où les vecteurs d’état et les opérateurs statistiques sont indépendants
du temps, et où les opérateurs subissent la tranformation (17.66). Le taux
de détection est donné par la valeur moyenne de c
† c,o ùc est l’opérateur
transformé de a
w a ∝ Tr
ρ s |zz|c
† c
=T r
ρ s |zz|
a
† cos λ − ib
† sin λ
(a cos λ + ib sin λ)
=T r
ρ s a
† a
cos
2 λ + z|b
† b|z sin
2 λ + i Tr
ρ s |zz|
a
† b − b
† a
sin λ cos λ
Le terme Tr[ρ s a
† a] donne le nombre moyen de photons du signal, z|b
† b|z =
|z|
2 le nombre moyen de photons de l’oscillateur local et le dernier terme
mélange le signal et l’oscillateur local. Compte tenu de z|b|z = z
i Tr
ρ s |zz|
a
† b − b
† a
= izTr(ρ s a
† ) − iz
∗ Tr(ρ s a)
= i|z|Tr
ρ s
a
† e
iθ − a e
−iθ
=2 |z|Tr
ρ s X [θ+π/2]
=2|z||X [θ+π/2]