20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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20.17 Exercices du chapitre 17
17.5.4 Détection homodyne et lame séparatrice
déséquilibrée
1. On part de l’action d’une lame séparatrice donnée par (17.67) pour
cos λ =sinλ =1/
√
2
Ua
† U
† =
1
√
2
a
† + ib
†
Ub
† U
† =
1
√
2
ia
† + b
†
Examinons l’action de la première lame en partant de l’état initial
|Ψ 0 = |1 a 0 b = a
† |0 a 0 b
Dans le point de vue de Schrödinger, l’action de la lame sur le vecteur d’état
est donnée par
|Ψ 1 = U |Ψ 0 = Ua
† |0 a 0 b =
1
√
2
(|1 a 0 b + i|0 a 1 b )
Le trajet supérieur de l’interféromètre ajoute un facteur de phase exp(iδ)
|Ψ
′
1 =
1
√
2
(e
iδ |1 a 0 b + i|0 a 1 b )
tandis que l’action de la seconde lame se traduit par
|Ψ 2 = U |Ψ
′
1 =
1
2
e
iδ − 1
|1 a 0 b + i
e
iδ +1
|0 a 1 b
Ceci donne immédiatement
Ψ 2 |a
† a|Ψ 2 =
1
2
(1 − cos δ)
Pour un état de Fock à n photons, on part de
|Ψ 0 = |n a 0 b =
1
√
n!
a
† n |0 a 0 b
Nous avons la suite des transformations
a
† →
1
√
2
a
† + ib
†
→
1
√
2
e
iδ a
† + ib
†
→
1
2
e
iδ (a
† + ib
† )+i(ia
† + b
†
=
1
2
e
iδ − 1
a
† +
i
2
e
iδ +1
b
†