20. Corrigés d’une sélection d’exercices
971
La dispersion autour du maximum à x 0 est ∆x = n
3/2 .L o r s q u el = n − 1,
la fonction d’onde radiale est localisée autour d’une valeur a 0 n
2 avec une
dispersion a 0 n
3/2 .Lorsquel = n − 1, l’exponentielle dans u nl (r) est multipliée
par un polynôme en r, et non un simple monôme, ce qui élargit la courbe.
2. Au voisinage de θ = π/2 et en posant δ = π/2 − θ
sin
l θ =cos
l δ ≃
1 −
1
2
δ
2
l
≃ exp
−
1
2
lδ
2
La fonction d’onde est donc concentrée dans une ouverture angulaire δθ ≃
1/
√
l ≃ 1/
√
n, ce qui lui donne une dispersion suivant Oz
∆z ≃
1
√
n
a 0 n
2 = a 0 n
3/2
Les dispersions horizontale (question 1) et verticale (question 2)é t a n tt o u t e s
deux en a 0 n
3/2 , l’orbite est donc bien un tore de rayon a 0 n
3/2 autour d’un
cercle de rayon a 0 n
2 .
20.16 Exercices du chapitre 16
16.4.3 Structure hyperfine du deutérium
1. La contribution d’un proton au moment magnétique comprend sa partie
orbitale γ l
L et sa partie de spin γ s
S. Il n’y a pas de partie orbitale pour le
neutron qui est de charge nulle.
3. On calcule la valeur moyenne du moment magnétique dans l’état | ++
μ D = ++|γ p S pz + γ n S nz | ++ =
1
2
γ p +
1
2
γ n
=( 5 .59 − 3.83)
q p
4m p
=
1
2
(5.59 − 3.83)μ N =0.88 μ N
En utilisant
S n =
S D −
S p =⇒⇒
S D ·
S p =
2 et le théorème de Wigner-Eckart,
on montre que dans l’état
3 S 1
S p =
S n =
1
2
S D
2. L’interaction effective dans l’état 1s est
W D = −
2μ 0
3
γ D γ e |ϕ(0)|
2
S D ·
S e
tandis que pour l’hydrogène (voir (15.32))
W D = −
2μ 0
3
γ p γ e |ϕ(0)|
2
S p ·
S e
971
La dispersion autour du maximum à x 0 est ∆x = n
3/2 .L o r s q u el = n − 1,
la fonction d’onde radiale est localisée autour d’une valeur a 0 n
2 avec une
dispersion a 0 n
3/2 .Lorsquel = n − 1, l’exponentielle dans u nl (r) est multipliée
par un polynôme en r, et non un simple monôme, ce qui élargit la courbe.
2. Au voisinage de θ = π/2 et en posant δ = π/2 − θ
sin
l θ =cos
l δ ≃
1 −
1
2
δ
2
l
≃ exp
−
1
2
lδ
2
La fonction d’onde est donc concentrée dans une ouverture angulaire δθ ≃
1/
√
l ≃ 1/
√
n, ce qui lui donne une dispersion suivant Oz
∆z ≃
1
√
n
a 0 n
2 = a 0 n
3/2
Les dispersions horizontale (question 1) et verticale (question 2)é t a n tt o u t e s
deux en a 0 n
3/2 , l’orbite est donc bien un tore de rayon a 0 n
3/2 autour d’un
cercle de rayon a 0 n
2 .
20.16 Exercices du chapitre 16
16.4.3 Structure hyperfine du deutérium
1. La contribution d’un proton au moment magnétique comprend sa partie
orbitale γ l
L et sa partie de spin γ s
S. Il n’y a pas de partie orbitale pour le
neutron qui est de charge nulle.
3. On calcule la valeur moyenne du moment magnétique dans l’état | ++
μ D = ++|γ p S pz + γ n S nz | ++ =
1
2
γ p +
1
2
γ n
=( 5 .59 − 3.83)
q p
4m p
=
1
2
(5.59 − 3.83)μ N =0.88 μ N
En utilisant
S n =
S D −
S p =⇒⇒
S D ·
S p =
2 et le théorème de Wigner-Eckart,
on montre que dans l’état
3 S 1
S p =
S n =
1
2
S D
2. L’interaction effective dans l’état 1s est
W D = −
2μ 0
3
γ D γ e |ϕ(0)|
2
S D ·
S e
tandis que pour l’hydrogène (voir (15.32))
W D = −
2μ 0
3
γ p γ e |ϕ(0)|
2
S p ·
S e