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Physique quantique : Exercices et applications
Compte tenu de
d
3 rW(r)=
2π
5
Ze
2 R
2
on trouve
δE ns =
2π
5
Ze
2 R
2 |ϕ ns (0)|
2
ce qui donne numériquement pour la transition 2p → 1s
δE 1s =
2Ze
2
5a Z
µ
R
a Z
µ
2
=
4
5
R ∞ Z
2
m µ
m e
R
a Z
µ
2
=12.6keV
En tenant compte de la polarisation du vide
∆E 2p→1s = 354.9 − 12.6+2.2 = 344.5keV
en excellent accord avec le résultat expérimental.
4. Le rapport de l’énergie de la structure fine à celle du fondamental est la
même pour les atomes ordinaires et muoniques : elle est proportionnelle dans
les deux cas à α
2 . En revanche, le rapport de l’énergie de structure hyperfine
à celle de l’état fondamental est plus grande par un facteur ∼ m µ /m e pour
les atomes muoniques. En effet, si l’on examine (15.32) en tenant compte
de ce que l’énergie du fondamental est en 1/a, on doit tenir compte d’un
facteur 1/a
3 ∼ (m µ /m e )
3 et d’un facteur m e /m µ venant de la comparaison
des moments magnétiques de l’électron et du muon.
15.4.4 Atomes de Rydberg
1. Dans le cas l = n − 1, le développement de u nl (r) se réduit à un seul
terme
u nl (r)
l=n−1
= c 0
r
a 0
n
exp
−
r
na 0
Posons x = r/a 0 et étudions la fonction f (x)=x
n exp(−x/n), ou de façon
équivalente son logarithme g(x).L af o n c t i o nf (x) présente un maximun aigu
au voisinage d’un point x 0 que l’on détermine en étudiant g
′ (x), g
′ (x 0 )=0
g
′ (x)=
n
x
−
1
n
x 0 = n
2
Calculons aussi la dérivée seconde
g
′′ (x)=−
n
x 2
g
′′ (x 0 )=−
1
n 3
et donc
f (x) ≃ f (x 0 )exp
−
(x − x 0 )
2
2n 3
Physique quantique : Exercices et applications
Compte tenu de
d
3 rW(r)=
2π
5
Ze
2 R
2
on trouve
δE ns =
2π
5
Ze
2 R
2 |ϕ ns (0)|
2
ce qui donne numériquement pour la transition 2p → 1s
δE 1s =
2Ze
2
5a Z
µ
R
a Z
µ
2
=
4
5
R ∞ Z
2
m µ
m e
R
a Z
µ
2
=12.6keV
En tenant compte de la polarisation du vide
∆E 2p→1s = 354.9 − 12.6+2.2 = 344.5keV
en excellent accord avec le résultat expérimental.
4. Le rapport de l’énergie de la structure fine à celle du fondamental est la
même pour les atomes ordinaires et muoniques : elle est proportionnelle dans
les deux cas à α
2 . En revanche, le rapport de l’énergie de structure hyperfine
à celle de l’état fondamental est plus grande par un facteur ∼ m µ /m e pour
les atomes muoniques. En effet, si l’on examine (15.32) en tenant compte
de ce que l’énergie du fondamental est en 1/a, on doit tenir compte d’un
facteur 1/a
3 ∼ (m µ /m e )
3 et d’un facteur m e /m µ venant de la comparaison
des moments magnétiques de l’électron et du muon.
15.4.4 Atomes de Rydberg
1. Dans le cas l = n − 1, le développement de u nl (r) se réduit à un seul
terme
u nl (r)
l=n−1
= c 0
r
a 0
n
exp
−
r
na 0
Posons x = r/a 0 et étudions la fonction f (x)=x
n exp(−x/n), ou de façon
équivalente son logarithme g(x).L af o n c t i o nf (x) présente un maximun aigu
au voisinage d’un point x 0 que l’on détermine en étudiant g
′ (x), g
′ (x 0 )=0
g
′ (x)=
n
x
−
1
n
x 0 = n
2
Calculons aussi la dérivée seconde
g
′′ (x)=−
n
x 2
g
′′ (x 0 )=−
1
n 3
et donc
f (x) ≃ f (x 0 )exp
−
(x − x 0 )
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