20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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15.4.2 Atomes muoniques
1. La masse réduite du problème est
m
′
µ =
m µ
1+m µ /m A
≃
m µ /m e
1+m µ /(Am p )
soit
m
′
µ = α(A)m e
α(A)=
m µ /m e
1+m µ /(Am p )
Applications
• Aluminium : a
Z=13
µ
=19.8 fm
R =3.6 fm
• Plomb : a
Z=82
µ
=3.1 fm
R =7.1 fm
2. Effet des électrons des couches internes. La fonction d’onde des électrons
les plus internes est
ϕ
Z
0 (r)=
1
π(a Z
e ) 3
e
−r/a
Z
e
a
Z
e =
a 0
Z
La charge électronique dans une orbite de rayon a
Z
µ est
Q ≃ 2q e
a
Z
µ
a Z
e
3
≃ 2q e
m e
m µ
3
∼ q e × 10
−6
L’énergie de la transition 2p → 1s de l’atome d’hydrogène est ∆E H ≃
(3/4)R ∞ . Elle vaut pour un atome muonique dans le cas de l’aluminium
∆E
Al
µ = (13)
2 α(27)
3
4
R ∞ = 354.9keV
et dans le cas du plomb
∆E
Pb
µ = (82)
2 α(208)
3
4
R ∞ =14.2MeV
L’approximation d’un noyau ponctuel n’est évidemment pas valable pour le
plomb, car le rayon de l’orbite est environ la moitié du rayon nucléaire ! Cette
approximation ne peut même pas servir d’approximation d’ordre zéro. Il serait
préférable de partir d’une approximation d’oscillateur harmonique en utilisant
le potentiel de la question suivante.
3. Le potentiel à utiliser dans le calcul perturbatif pour r W (r)=
Ze
2
2
1
R
r
R
2
− 3+
2
r
Le potentiel W étant non nul uniquement pour r état dont la fonction d’onde s’annule à r =0(onde p, onde d, etc.) est négligeable. Pour une onde ns, on utilise
d
3 rW(r)|ϕ ns ( r)|
2 ≃|ϕ ns (0)|
2
d
3 rW(r)