20. Corrigés d’une sélection d’exercices
967
Compte tenu du résultat de la question 1, on en déduit l’équation d’évolution
complète
i∂ t ρ
(1) =[h 1 ,ρ
(1) ]+Tr 2
[W,ρ
(2) ]
4. Approximation de Hartree. L’équation(14.134) est un conséquence immédiate de l’approximation (14.132) et de l’équation d’évolution de ρ
(1) .
5. Approximation de Hartree-Fock. La forme approché de ρ
(2) est
ρ
(2) ( x 1 ,, x 2 ; y 1 ,, y 2 )=
ij
u
∗
i ( y 1 )u
∗
j ( y 2 )u j ( x 2 )u i ( x 1 )−u
∗
i ( y 1 )u
∗
j ( y 2 )u i ( x 2 )u j ( x 1 )
La trace du premier terme donne Nρ
(1) ( x 1 ,, y 1 ), et celle du second
−
ij
d
3 x 2 u
∗
i ( y 1 )u
∗
j ( x 2 )u i ( x 2 )u j ( x 1 )=−
i
u
∗
i ( y 1 )u i ( x 1 )=−ρ
(1) ( x 1 ,, y 1 )
et on a donc bien
Tr 2 ρ
(2) =(N − 1)ρ
(1)
20.15 Exercices du chapitre 15
15.4.1 Perturbation au second ordre et forces de
van der Waals
1. Partons de l’équation aux valeurs propres à l’ordre λ
2
H(λ)|ϕ(λ) =( H 0 + λW )|ϕ(λ)
=( E 0 + λE 1 + λ
2 E 2 )|ϕ(λ)
avec
|ϕ(λ) = |ϕ 0 + λ|ϕ 1 + λ
2 |ϕ 2
et la condition auxiliaire ϕ 0 |ϕ(λ) =1d’où
ϕ 0 |ϕ 1 = −λϕ 0 |ϕ 2
De ces équations, on déduit à l’ordre λ
2
(H 0 − E 0 )|ϕ 2 =(E 1 − W )|ϕ 1 + E 2 |ϕ 0
En multipliant à gauche par le bra ϕ 0 | et en tenant compte de ce que ϕ 0 |ϕ 1
est d’ordre λ
E 2 = ϕ 0 |W |ϕ 1
(20.1)
De plus, l’identification des termes d’ordre λ pour |ϕ(λ) donne
(H 0 − E 0 )|ϕ 1 =(E 1 − W )|ϕ 0
(20.2)