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Physique quantique : Exercices et applications
3. Nous pouvons écrire la dépendance en t de ρ
(1) sous la forme
ρ
(1) ( x, , y; t)=Φ N |ψ
† ( y, t)ψ( x, t)|Φ N
où ψ( x, t) est l’opérateur de champ dans le point de vue de Heisenberg, qui
vérifie
i∂ t ψ =[ψ, H]
Nous avons donc
i∂ t ρ
(1) = Φ N |(i∂ t ψ
† ( y))ψ( x, t)|Φ N + Φ N |ψ
† ( y, t)(i∂ t ψ( x, t))|Φ N
Mais, compte tenu de (14.70) et (14.71)
i∂ t ψ( x, t)=
−
1
2m
∇
2
x + U ( x )
ψ( x, t)+
d
3 zψ
† ( z)W ( z, x)ψ( z)ψ( x)
on voit apparaître dans l’équation d’évolution de ρ
(1) un terme
Φ N |ψ
† ( y 1 )
d
3 zψ
† ( z)W ( z, , x)ψ( z)ψ( x 1 )|Φ N
=
d
3 zW( z, x 1 )ρ
(2) ( x 1 ,, z; y 1 ,, z)
Ajoutant la contribution venant de i∂ t ψ
† , on obtient pour la contribution de
W à l’évolution
i∂
W
t ρ
(1) =
d
3 z [W ( z, x 1 ) − W ( z, y 1 )] ρ
(2) ( x 1 ,, z; y 1 ,, z)
Par définition, l’élément de matrice W ij;kl du potentiel est donné par
W ij;kl =
d
3 x 1 d
3 x 2 d
3 y 1 d
3 y 2 y 1 |u i y 2 |u j y 1 y 2 |W| x 1 x 2 x 1 |u k x 2 |u l
Mais, par ailleurs,
W ij;kl =
d
3 x 1 d
3 x 2 u
∗
i ( x 1 )u j ( x 2 )W ( x 1 ,, x 2 )u k ( x 1 )u l ( x 2 )
ce qui implique
y 1 y 2 |W| x 1 x 2 = W ( x 1 ,, x 2 )δ
(3) ( x 1 − y 1 )δ
(3) ( x 2 − y 2 )
Ceci nous permet d’écrire
Tr 2
Wρ
(2)
=
d
3 z d
3 z 1 d
3 z 2 x 1 ,, z|W| z 1 ,, z 2 z 1 ,, z 2 |ρ
(2) | x 1 ,, z
=
d
3 zW( x 1 ,, z)ρ
(2) ( x 1 ,, z; y 1 ,, z)