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Physique quantique : Exercices et applications
– deux photons droits : m 1 =1et m 2 = −1, m 1 + m 2 =0
– deux photons gauches : m 1 = −1 et m 2 =1, m 1 + m 2 =0
– un photon gauche et un photon droit : m 1 + m 2 = ±2
Cette dernière éventualité est exclue car m = −1, 0 ou +1.
4. Dans une rotation de π autour de Oy, les deux photons sont échangés.
Comme il s’agit de deux bosons, le vecteur d’état global ne doit pas changer
de signe dans cet échange. Avec Y =exp(−iπJ y ),
Y |jm =(−1)
j−m |j, −m
d’après (9.102). L’état initial change de signe si j =1,carm =0, et ne change
pas de signe si j =0 . Seul l’état singulet de spin j =0peut se désintégrer
en deux photons. De façon générale, une particule de spin 1 ne peut pas se
désintégrer en deux photons.
5. La parité de l’état fondamental du positronium est
Π=η e + η e − (−1)
l = η e + η e −
où l =0est le moment angulaire orbital. Dans une réflexion par rappport au
plan xOz, le vecteur d’état initial change de signe car l’opérateur Y qui effectue cette réflexion est Y =Πexp(−iπJ z ). Pour les photons, d’après (9.104) et
compte tenu de la parité impaire η γ = −1 du photon
Y|D = −|GY | G = −|D
Ceci montre que |Φ + ne change pas de signe, tandis que |Φ − change de
signe. C’est donc l’état intriqué |Φ − de deux photons qui est produit dans la
désintégration.
14.5.7 Hiérarchie BBGKY et approximation de
Hartree-Fock
1. Afin de simplifier les notations, nous utilisons un système d’unités où
=1. Comme l’opérateur nombre de particules est
N =
d
3 zψ
† ( z)ψ( z)
nous avons, en intégrant sur le volume V
V
d
3 zρ
(1) ( z, z)=Φ N |N|Φ N = N
car |Φ N e s tu né t a tàN particules. En insérant une relation de fermeture,
nous obtenons l’expression de ρ
(1) ( x, , y) en terme de fonctions d’onde
ρ
(1) ( x, , y )=
d
3 x 2 ···d
3 x N Φ N |ψ
† ( y)| x 2 , ··· ,, x N x 2 , ··· ,, x N |ψ( x)|Φ N
= N
d
3 x 2 ···d
3 x N Φ
∗
N ( y, , x 2 , ··· ,, x N )Φ N ( x, , x 2 , ··· ,, x N )
Physique quantique : Exercices et applications
– deux photons droits : m 1 =1et m 2 = −1, m 1 + m 2 =0
– deux photons gauches : m 1 = −1 et m 2 =1, m 1 + m 2 =0
– un photon gauche et un photon droit : m 1 + m 2 = ±2
Cette dernière éventualité est exclue car m = −1, 0 ou +1.
4. Dans une rotation de π autour de Oy, les deux photons sont échangés.
Comme il s’agit de deux bosons, le vecteur d’état global ne doit pas changer
de signe dans cet échange. Avec Y =exp(−iπJ y ),
Y |jm =(−1)
j−m |j, −m
d’après (9.102). L’état initial change de signe si j =1,carm =0, et ne change
pas de signe si j =0 . Seul l’état singulet de spin j =0peut se désintégrer
en deux photons. De façon générale, une particule de spin 1 ne peut pas se
désintégrer en deux photons.
5. La parité de l’état fondamental du positronium est
Π=η e + η e − (−1)
l = η e + η e −
où l =0est le moment angulaire orbital. Dans une réflexion par rappport au
plan xOz, le vecteur d’état initial change de signe car l’opérateur Y qui effectue cette réflexion est Y =Πexp(−iπJ z ). Pour les photons, d’après (9.104) et
compte tenu de la parité impaire η γ = −1 du photon
Y|D = −|GY | G = −|D
Ceci montre que |Φ + ne change pas de signe, tandis que |Φ − change de
signe. C’est donc l’état intriqué |Φ − de deux photons qui est produit dans la
désintégration.
14.5.7 Hiérarchie BBGKY et approximation de
Hartree-Fock
1. Afin de simplifier les notations, nous utilisons un système d’unités où
=1. Comme l’opérateur nombre de particules est
N =
d
3 zψ
† ( z)ψ( z)
nous avons, en intégrant sur le volume V
V
d
3 zρ
(1) ( z, z)=Φ N |N|Φ N = N
car |Φ N e s tu né t a tàN particules. En insérant une relation de fermeture,
nous obtenons l’expression de ρ
(1) ( x, , y) en terme de fonctions d’onde
ρ
(1) ( x, , y )=
d
3 x 2 ···d
3 x N Φ N |ψ
† ( y)| x 2 , ··· ,, x N x 2 , ··· ,, x N |ψ( x)|Φ N
= N
d
3 x 2 ···d
3 x N Φ
∗
N ( y, , x 2 , ··· ,, x N )Φ N ( x, , x 2 , ··· ,, x N )