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Physique quantique : Exercices et applications
13.5.6 Section efficace d’absorption des neutrinos
1. L’élément de matrice ϕ f |ϕ i est donné par
ϕ f |ϕ i =
1
V 2
d
3 r e
i( p1+ p2+ p3)· r/ =
1
V
δ
p1+ p2+ p3,0
où les p i représentent les impulsions des trois particules finales. Le δ est un δ
de Kronecker car nous avons utilisé des ondes planes dans une boîte. Prenant
le carré
||ϕ f |ϕ i |
2 =
1
V 2 δ
p1+ p2+ p3,0
Montrons que l’énergie cinétique de recul K du proton est négligeable. La
relation
P + q +
p =0
montre que les trois impulsions sont a priori du même ordre de grandeur, ∼ p.
Mais, l’énergie cinétique de l’électron k
k ∼
p
2
2m e
≫ K ∼
p
2
2m p
La densité d’états finaux est
D(E)=V
2
d
3 p
(2π) 3
d
3 q
(2π) 3 δ(K + E + cq − E 0 )
Intégrons sur les angles
V
d
3 p
(2π) 3 →
4πV
(2π) 3 p
2 dp =
4πV
(2π) 3
pEdE
c 2
V
d
3 q
(2π) 3 →
4πV
(2π) 3 q
2 dq
La conservation de l’énergie donne q =(E − E 0 )/c et en intégrant la densité
de niveaux sur q
D(E 0 )=
V
2
(2π 2 ) 2 6
pE
c 2
(E − E 0 )
2
c 3
Ceci donne pour le taux de désintégration par unité d’énergie E
dΓ
dE
=2π
G
2
F |M fi |
2
4π 4 7 c 5 pE(E 0 − E)
2
et en intégrant sur E en négligeant la masse de l’électron, on obtient l’expression de la vie moyenne
1
τ
=Γ∼
G
2
F E
5
0
60π 3 (c) 6