20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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Soit u(k, r)=Gu(k, r), la fonction d’onde normalisée de l’état lié, qui se
comporte à l’infini comme N exp(−κr),o ùN est la constante définie à la
question 1, N = FG. Nous avons, d’une part,
∞
0
dru
2 (k, r)=−iDF
et, d’autre part,
1=
∞
0
dr u
2 (k, r)=G
2
∞
0
dru
2 (k, r)=−iFG
2 = −i(FG)
2 D
F
= −iN
2 D
F
Au voisinage du pôle à k = iκ,
S(k) ≃
F
D(k − iκ)
=
−iN
2
k − iκ
8. Exprimons k cot δ en fonction de g(k)
k cot δ(k)=
ik[g(k)+g(−k)]
g(k) − g(−k)]
Cette fonction est analytique pour k ∼ 0, tend vers une constante pour k → 0
et c’est une fonction paire de k. On peut donc écrire son développement de
Taylor
k cot δ(k)=−
1
a
+
1
2
r 0 k
2 + O(k
4 )
Compte tenu de
S(k)=
k cot δ(k)+ik
k cot δ(k) − ik
l’existence d’un pôle de S(k) à k 0 = iκ entraîne
k 0 cot δ(k 0 )=ik 0 = −κ
−
1
a
−
1
2
r 0 κ
2 = −κ
soit
r 0 =
2
κ
1 −
1
κa
Calculons le résidu au pôle
k cot δ − ik = k 0 cot δ 0 +(k − k 0 )
∂
∂k
k cot δ
k=k0
− ik + ik 0 − ik 0
= −i(k − k 0 )+(k − k 0 )iκr 0 = −i(k − k 0 )(1 − κr 0 )
soit
S(k)=
−2κ
−i(k − k 0 )(1 − κr 0 )
=⇒ N
2 =
2κ
1 − κr 0