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Physique quantique : Exercices et applications
et différentions cette équation par rapport à k
∂u
′′
∂k
− 2mV
∂u
∂k
+ k
2 ∂u
∂k
= −2uk
Multiplions la première équation par ∂u/∂k et la seconde par u et retranchons
u
′′ ∂u
∂k
− u
∂u
′′
∂k
=2ku
2
soit
∂
∂r
u
′ ∂u
∂k
− u
∂u
′
∂k
=2ku
2
et en intégrant sur r
u
′ ∂u
∂k
− u
∂u
′
∂k
=2k
r
0
u
2 (r
′ )dr
′
Pour r → 0
∂u
∂k
r=0
=
A
′ (k)sink
′ r + A(k)r
∂k
′
∂k
cos k
′ r
r=0
=0
En outre,
∂u
∂k
= g(k, r)g
′ (−k)+O
e
−κr
et pour un état lié
u(k, r)=g(−k, r)g(k)= ⇒ si r →∞u
′ (k, r)=iku(k, r)
Par conséquent, pour r →∞
u
′ ∂u
∂k
− u
∂u
′
∂k
→ 2 i kg(iκ)[g
′ (−iκ)]
Au voisinage du pôle k = iκ, g(−k) est proportionnel à (k − iκ)
g(−k) ≃ D(k − iκ)
et donc g
′ (−k)=−D. Posons g(iκ)=F ,o no b t i e n t
−2ikDF =2k
∞
0
u
2 (k, r) dr
Le comportement r →∞de u(k, r) est
r →∞ : u(k, r) ≃ g(iκ)e
−κr = F e
−κr