20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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maintenant un pôle de S(k) à k = h − ib. En raison des propriétés démontrées
àl aq u e s t i o n3, S(k) a aussi un pôle à k = −h − ib.S ib<0, g(h + ib, r)
et g(−h + ib, r) sont des fonctions de carré sommable (elles se comportent
comme exp(−|b|r) à l’infini) et comme elles sont solutions de l’équation de
Schrödinger, elles sont orthogonales
∞
0
drg(h + ib, r)g(−h + ib, r)=
∞
0
dr |g(h + ib, r)|
2 =0
et nous avons une contradiction si b<0.S ih =0 , la seule possibilité est
d’avoir des pôles tels que Im k<0.
6. Le choix de S(k)
S(k)=
(k − h − ib)(k + h − ib)
(k − h + ib)(k + h + ib)
≃
k − h − ib
k − h + ib
pour k ∼ h
obéit aux propriétés de la question 3.L ar e l a t i o ne n t r ecot δ et S est
cot δ = i
e
2iδ +1
e 2iδ − 1
= i
S +1
S − 1
=
h − k
b
soit
δ(k)=tan
−1 −b
k − h
Le déphasage δ croît de δ(k)=t a n
−1 b/h pour k =0à π pour k →∞ ,e n
passant par π/2 pour k = h. La section efficace totale vaut
σ tot =
4π
k 2 sin
2 δ =
4π
k 2 (1 + cot
2 δ)
=
4πb
2
k 2 [(k − h) 2 + b 2 ]
Posons
k
2 =
2mE
2
h
2 =
2mE 0
2
k − h =
k
2 − h
2
k + h
≃
k
2 − h
2
2h
=
m(E
2 − E
2
0 )
√
2mE 0
On trouve
σ(E)=
2π
2
ME
2 Γ
2 /4
(E − E 0 ) 2 + 2 Γ 2 /4
à condition de poser
2 Γ
2
4
=
2E 0
2 b
2
m
7. Partons de l’équation de Schrödinger radiale
u
′′ − 2mV u + k
2 u =0