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Physique quantique : Exercices et applications
Écrivant k = k 1 + ik 2 , nous observons les comportements asymptotiques
suivants
g
∗ (k, r) ∝
e
ikr ∗ = e
−ik1r e
−k2r
g(−k
∗ ,r) ∝ e
−ik
∗ r = e
−ik1r e
−k2r
Les deux fonctions vérifient la même équation différentielle et ont le même
comportement à l’infini, et elles sont donc égales. On en déduit g
∗ (k
∗ )=
g(−k),d ’ o ù
S
∗ (k
∗ )=
g
∗ (k
∗ )
g ∗ (−k ∗ )
=
g(−k)
g(k)
=
1
S(k)
et
S(−k)=
g(−k)
g(k)
=
1
S(k)
= S
∗ (k
∗ )
4. Le comportement de la fonction g(k, r) est donné pour rR
par
r g(k, r)=Ae
−ik
′ r + Ce
ik
′ r
r>R
g(k, r)=e
−ikr
Les conditions de continuité de g(k, r) et de sa dérivée donnent
Ae
−ik
′ R + Ce
ik
′ R
= e
−ikR
k
′
Ae
−ik
′ R − Ce
ik
′ R
= ke
−ikR
avec k
′ =
M (V 0 + E). On en déduit
g(k)=A + C = e
−ikR
cos k
′ R + i
k
k ′ sin k
′ R
On constate que g(k) est bien une fonction entière de k.L es e u lpo i n td é l i c a t
pourrait être le point k
′ =0en raison de la racine carrée dans la définition
de k
′ ,m a i scos k
′ R et (1/k
′ )sink
′ R sont des fonctions analytiques de k
′ 2 .
5. Supposons que S(k) possède un pôle sur l’axe imaginaire positif à k =
iκ, κ>0. On a alors g(−k)=g(−iκ)=0et le comportement asymptotique
de u(k, r) est
r →∞ : u(k, r) ∼ e
ikr g(k)+e
−ikr g(−k)
∼ e
−κr g(k)+e
κr g(−k)
u(k, r) explose si r →∞ ,s a u fs ig(−k)=0 ,e ta l o r su(k, r) est la fonction
d’onde d’un état lié
u(k, r)=g(k)g(−k, r)
qui s’annule automatiquement à r =0.L e spôl e sd eS(k) sur l’axe imaginaire
tels que 0 < Im k<μ / 2 donnent donc l’énergie des états liés. Supposons