20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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La condition de continuité de la fonction d’onde à r = R donne
A sin k
′ R = N e
−κR
et celle de la dérivée logarithmique
cot κR = −
κ
k ′
sin k
′ R =
k
′
κ 2 + k ′ 2
cos k
′ R = −
κ
κ 2 + k ′ 2
soit
A = N e
−κR
κ 2 + k ′ 2
k ′
La normalisation est donnée par les deux intégrales
J < = A
2
R
0
dr sin
2 k
′ r =
N
2 e
−2κR
2k ′
κ + R(k
′ 2 + κ
2 )
J > = N
2
∞
R
dr e
−2κr =
N
2
2κ
e
−2κR
et la somme J < + J > vaut
J < + J > =
N
2 e
−2κR
2k ′ 2 κ
(k
′ 2 + κ
2 )(1 + κR)
d’où N
2
N
2 =
2κk
′ 2 e
2κR
(κ 2 + k ′ 2 )(1 + κR)
2. La fonction g(−k, r) est linéairement indépendante de g(k, r) car elle se
comporte à l’infini comme exp(−ikr). La solution la plus générale de l’équation
de Schrödinger est une combinaison linéaire de ces deux solutions, et comme
u(k, r) doit de plus s’annuler à r =0,o na
u(k, r)=g(−k, r)g(k) − g(k, −r)g(−k)
g(k)=g(k, r =0)
Le comportement r →∞de u(k, r) est alors
r →∞ : u(k, r) ∝ e
ikr g(k) − e
−ikr g(−k)
La comparaison avec (13.22) pour l =0montre alors que
S(k)=e
2iδ(k) =
g(k)
g(−k)
3. Prolongeons g(k, r) à des valeurs complexes de k : g
∗ (k, r) et g(−k
∗ ,r)
vérifient les équations différentielles
d
2
dr 2 g
∗ (k, r)+
k
∗2 − 2mV (r)
g
∗ (k, r)=0
d
2
dr 2 g(−k
∗ ,r)+
k
∗2 − 2mV (r)
g(−k
∗ ,r)=0