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Physique quantique : Exercices et applications
3. L’intégrale angulaire donne un facteur 4πv
2 et la valeur moyenne de vσ
est donnée par
vσ =4π
μ
2πk B T
3/2 ∞
0
dvv
3 σ(v)exp
−
μv
2
2k B T
On effectue le changement de variables v → E
E =
1
2
μv
2
σ(E)=
2π
2
μE
p T (E)=
2π
2
μE
exp
−
E B
E
ce qui donne
vσ =
16π
2
2
μ 3
μ
2πk B T
3/2 ∞
0
dE e
−E/(kB T ) e
−
√
EB /E
On doit étudier l’intégrale
J =
∞
0
dE e
−E/(kB T ) e
−
√
EB /E
Définissons la fonction f (E) par (β =1/(k B T ))
f (E)=βE −
E B
E
f
′ (E)=β −
√
E B
2E 3/2
Le maximum de exp[−f (E)] est atteint pour E = E 0 ,oùE 0 vérifie f
′ (E 0 )=0
E 0 =
1
2
k B T
E B
2/3
et l’on trouve
f (E 0 )=−
1
2
2E B
k B T
1/3
≃−5.8
La largeur du pic de exp(−f (E) s’obtient en étudiant la dérivée seconde
f
′′ (E 0 )=
3
4
E B E
−5/2
0
=
3
4
1
2
−5/3
E
−1/3
B
(k B T )
−5/3
et la largeur du pic est
∆E ∼ E
1/6
B (k B T )
5/6 =4.5keV
Physique quantique : Exercices et applications
3. L’intégrale angulaire donne un facteur 4πv
2 et la valeur moyenne de vσ
est donnée par
vσ =4π
μ
2πk B T
3/2 ∞
0
dvv
3 σ(v)exp
−
μv
2
2k B T
On effectue le changement de variables v → E
E =
1
2
μv
2
σ(E)=
2π
2
μE
p T (E)=
2π
2
μE
exp
−
E B
E
ce qui donne
vσ =
16π
2
2
μ 3
μ
2πk B T
3/2 ∞
0
dE e
−E/(kB T ) e
−
√
EB /E
On doit étudier l’intégrale
J =
∞
0
dE e
−E/(kB T ) e
−
√
EB /E
Définissons la fonction f (E) par (β =1/(k B T ))
f (E)=βE −
E B
E
f
′ (E)=β −
√
E B
2E 3/2
Le maximum de exp[−f (E)] est atteint pour E = E 0 ,oùE 0 vérifie f
′ (E 0 )=0
E 0 =
1
2
k B T
E B
2/3
et l’on trouve
f (E 0 )=−
1
2
2E B
k B T
1/3
≃−5.8
La largeur du pic de exp(−f (E) s’obtient en étudiant la dérivée seconde
f
′′ (E 0 )=
3
4
E B E
−5/2
0
=
3
4
1
2
−5/3
E
−1/3
B
(k B T )
−5/3
et la largeur du pic est
∆E ∼ E
1/6
B (k B T )
5/6 =4.5keV