20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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La température au centre du Soleil est de l’ordre de 1.5×10
7 K, correspondant
à une énergie cinétique E de 1.5 keV environ. On a donc bien E ≪ e
2 /R.
2. On définit la distance R N comme la distance où le potentiel coulombien
est égal à l’énergie cinétique : e
2 /R N = E. L’intégrale à évaluer pour l’effet
tunnel est
I =
RN
R
dr
e
2
r
− E
1/2
On effectue le changement de variables
u
2 =
e
2
r
− E
dr = −
2e
2 udu
(u 2 + E) 2
Les limites d’intégration sont
u =0 et u
2 =
e
2
R
− E ≃
e
2
R
ce qui donne
I =2e
2
1
2
√
E
tan
−1
e 2
RE
−
1
2
R
e 2
≃
πe
2
2
√
E
La probabilité de l’effet tunnel est
ln p T (E)=−
√
2μπe
2
√
E
Définissant
E B =
2μπ
2 e
4
2
on met la probabilité de l’effet tunnel sous la forme
p T (E) ≃ exp
−
E B
E
Numériquement, avec μ =6m p /5
E B =2π
2 α
2 μc
2 =1.18 MeV
3. Le facteur ∼ 4π/k
2 est un facteur géométrique qui doit apparaître dans
la section efficace totale : cf. (13.52). Il donne un ordre de grandeur de la
section efficace totale en l’absence d’autre information. Ici, nous devons tenir
compte en plus de l’effet tunnel : la barrière de potentiel doit être franchie,
sinon la réaction n’a pas lieu. Un ordre de grandeur de la section efficace
est obtenu en multipliant le facteur géométrique par la probabilité de l’effet
tunnel
σ(E) ∼
4π
k 2 p T (E)