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Physique quantique : Exercices et applications
et par conséquent,
p m→k (t) ≃
t
0
e
i[α k (t
′ )−αm(t
′ )] ϕ k (t
′ )| ˙
ϕ m (t
′ )
2
4. De l’équation
| ˙
ϕ m (t) =
d
dt
P m (t)|ϕ m (t)
=
dP m
dt
|ϕ m (t) + P m (t)| ˙
ϕ m (t)
on déduit par comparaison avec les résultats de la question 3
P m (t)| ˙
ϕ m (t) =0
et donc
ϕ m (t)| ˙
ϕ m (t) = ϕ m (t)|P m | ˙
ϕ m (t) =0
5. Si ˆ
n est le vecteur de Bloch du spin, les projecteurs P 1 et P 2 sur |ϕ 1
et |ϕ 2 sont
P 1 =
1
2
(I + σ · ˆ
n)
P 2 =
1
2
(I − σ · ˆ
n)
et on trouve
P 1
dP 1
dt
+ P 2
dP 2
dt
=
i
2
σ ·
ˆ
n ×
dˆ n
dt
=
i
2
˙
φφ σ · a
où le vecteur a est donné par
a =(− sin θ cos θ cos φ, − sin θ cos θ sin φ, sin
2 θ)
et l’opérateur K(t) vaut
K(t)=
1
2
˙
φ( σ · a)
On en déduit A(t) pour t infinitésimal ( ˙
φ = ω)
A(t)=I −
iωt
2
sin θ
sin θ
− cos θ
− cos θ
sin θ
+ O(t
2 )
Á partir de cette expression, on montre facilement que
ϕ 1 | ˙
ϕ 1
t=0
=0
20.13 Exercices du chapitre 13
13.5.1 Pic de Gamow
1. Calculons l’énergie coulombienne pour R =1fm
E 0 =
e
2
c
c
R
=
1
137
× 200 MeV ≃ 1.5MeV