20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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3. À l’ordre zéro de la théorie des perturbations ˆ
U (t, 0) = I,etaupremier
ordre, on peut écrire
ˆ
U (t, 0) = I − i
t
0
W (t
′ )dt
′
Le deuxième terme de cette équation va donner des transitions entre des états
de j différent. Si le système est à t =0dans l’état |ϕ m (0), l’amplitude de
probabilité de le trouver au temps t dans |ϕ k (t) est
a km (t)=ϕ k (t)|U (t, 0)|ϕ m (0) = ϕ k (t)|A(t)Φ(t) ˆ
U (t, 0)|ϕ m (0)
≃ δ km − iϕ k (t)|A(t)Φ(t)
t
0
W (t
′ )dt
′
|ϕ m (0)
d’où
p m→k (t) ≃||ϕ k (t)|A(t)Φ(t)F (t)|ϕ m (0)|
2
avec
F =
t
0
W (t
′ )dt
′ =
t
0
Φ
† (t
′ )A
† (t
′ )K(t
′ )A(t
′ )Φ(t
′ )dt
′
Prenant en compte
|ϕ l (t) = A(t)|ϕ l (0)
la probabilité p m→k (t) se simplifie
p m→k (t)=||ϕ k (0)|F |ϕ m (0)|
2
Évaluons l’élément de matrice
ϕ k (0)|Φ
† (t
′ )A
† (t
′ )K(t
′ )A(t
′ )Φ(t
′ )|ϕ m (0)
= e
i[α k (t
′ )−αm(t
′ )] ϕ k (0)|A
† (t
′ )K(t
′ )A(t
′ )|ϕ m (0)
= e
i[α k (t
′ )−αm(t
′ )] ϕ k (t
′ )|
dP m
dt
|ϕ m (t
′ )
où nous avons utilisé l’expression de K en fonction des projecteurs. Nous
pouvons simplifier le résultat en remarquant que
d
dt
|ϕ m (t) =
dA
dt
|ϕ m (0) =
l
dP l
dt
P l A(t)|ϕ m (0) =
dP m
dt
|ϕ m (t)
et nous obtenons donc (12.53)
p m→k (t) ≃
t
0
e
i[α k (t
′ )−αm(t
′ )] ϕ k (t
′ )| ˙
ϕ m (t
′ ) dt
′
2
Nous pouvons simplifier le résultat en observant que
d
dt
|ϕ m (t) =
dA
dt
|ϕ m (0) =
l
dP l
dt
P l A(t)|ϕ m (0) =
dP m
dt
|ϕ m (t)