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Physique quantique : Exercices et applications
ce qui donne le résultat recherché pour idP l /dt. D’autre part,
P l KP l = i
j
P l
dP j
dt
P j P l = iP l
dP l
dt
P l =0
En effet, de P
2 = P on obtient
dP
dt
= P
dP
dt
+
dP
dt
P
soit, en multipliant à droite par P
dP
dt
P = P
dP
dt
P +
dP
dt
P
2 =⇒P
dP
dt
P =0
2. L’équation d’évolution de Φ(t) est
i
dΦ
dt
=
j
E j (t)e
−iαj (t) P j (0) = H
(A) (t)Φ(t)
D’autre part,
A(t)Φ(t)|ϕ l (0) = e
−iα l (t) A(t)|ϕ l (0) = e
−iα l (t) |ϕ l (t)
et donc U A (t, 0) = A(t)Φ(t) transforme |ϕ l (0) en |ϕ l (t), au facteur de phase
dynamique exp[−iα l (t)] près. Le calcul qui suit est calqué sur celui menant
du point de vue de Schrödinger à celui de l’interaction si l’on définit
ˆ
U (t, 0) = Φ
† (t)A
† (t)U (t, 0)
On remarque que
A(t)H
(A) (t)A
† (t)=
j
E j (t)P j (t)=H(t)
On obtient ensuite
i
d ˆ
U
dt
= −Φ
† (t)H
(A) (t)A
† (t)U (t, 0) − Φ
† (t)A
† (t)K(t)U (t, 0)
+Φ
† (t)A
† (t)H(t)U (t, 0)
Mais on a également
Φ
† H
(A) A
† U =Φ
† A
† AH
(A) A
† U =Φ
† A
† H(t)U
et par conséquent,
i
d ˆ
U
dt
= −Φ
† A
† KAΦ ˆ
U