20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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6. Le terme qui projette sur l’état fondamental pour t a →∞est
e
iHta → e
iEnta
pour un état n. Pour que ce facteur tende vers zéro si E n =0pour t a →−∞,
il faut que t a ait une partie imaginaire positive. De même, pour
e
−iHt b → e
−iEntab
il faut que t b ait une partie imaginaire négative. Dans ces conditions, θ(τ − τ
′ )
se prolonge analytiquement en θ(t − t
′ ), et le propagateur euclidien devient le
propagateur de Feynman
D F (t)=
1
2ω
e
−iωt θ(t)+e
iωt θ(−t)
12.7.10 Probabilités de transition à l’approximation
adiabatique
1. Afin de simplifier les notations, nous noterons par convention P = P(t),
et nous expliciterons P(0) quand t =0.D e
j P
2
j = I, on déduit
j
dP
dt
P j = −
j
P j
dP j
dt
Écrivons l’équation d’évolution de P j (t)=A(t)P j (0)A
† (t)
i
dP j
dt
= i
dA
dt
P(0)A
† (t)+A(t)P j (0) i
dA
†
dt
et reportant idA/dt = K(t)A(t), on trouve l’équation d’évolution pour P j
i
dP j
dt
= K(t)A(t)P j (0)A
† (t) − A(t)P j (0)A
† (t)K(t)=[K(t), P j (t)]
Calculons le commutateur [K(t),A(t)], en remarquant que P j (t)P l (t)=
δ jl P l (t)
[K(t), P l (t)] = i
⎡
⎣
j
dP j
dt
P j (t), P(t)
⎤
⎦ = i
j
dP j
dt
P j (t)P l (t)
+ i
j
P l (t)P j (t)
dP j
dt
= i
dP l
dt
P l (t)+iP l (t)
dP l
dt
= i
d
dt
P
2
l
= i
dP l
dt