944
Physique quantique : Exercices et applications
L’expression provenant de l’intégrale gaussienne que nous devons évaluer est
X = I
2
a + I
2
b +2e
−ωT I a I b
On montre d’abord la première identité
e
−ωT I a + I b
e
ωT I a + I b
= I
2
a + I
2
b +2I a I b cosh ωt =sinh
2 ωT
dτ dτ
′ e
ω(τ −τ
′ ) j(τ )j(τ
′ )
d’où
X =sinh
2 ωt
dτ dτ
′ e
ω(τ −τ
′ ) j(τ )j(τ
′ ) − 2I a I b sinh ωT
Le terme en −2I a I b sinh ωT se combine avec l’intégrale double
Y = −
1
2ω sinh ωT
dτ dτ
′ sinh ω(T − τ )sinhωτ
′ j(τ )j(τ
′ )
×[θ(τ − τ
′ )+θ(τ
′ − τ )]
+
1
ω sinh ωT
dτ dτ
′ sinh ω(T − τ )sinhωτ
′ j(τ )j(τ
′ )θ(τ − τ
′ )
On utilise
θ(τ − τ
′ )+θ(τ
′ − τ ) − 2θ(τ − τ
′ )=−ε(τ − τ
′ )
où ε(x) est la fonction signe de x, pour écrire
Y = −
1
2ω sinh ωT
dτ dτ
′ sinh ω(T − τ )sinhωτ
′ j(τ )j(τ
′ )ε(τ − τ
′ )
= −
1
2ω sinh ωT
dτ dτ
′ (sinh ωT cosh ωτ − cosh ωT sinh ωτ)
× sinh ωτ
′ j(τ )j(τ
′ )ε(τ − τ
′ )
= −
1
2ω sinh ωT
dτ dτ
′ sinh ωT cosh ωτ sinh ωτ
′ j(τ )j(τ
′ )ε(τ − τ
′ )
=
1
8ω
dτ dτ
′
e
ω(τ −τ
′ ) − e
−ω(τ −τ
′ )
j(τ )j(τ
′ )ε(τ − τ
′ )
En combinant avec le premier terme de X, on voir apparaître la combinaison
e
ω(τ −τ
′ )
θ(τ − τ
′ )+θ(τ
′ − τ )+ε(τ − τ
′ )
+ e
−ω(τ −τ
′ ) [θ(τ − τ
′ )+θ(τ
′ − τ ) − ε(τ − τ
′ )]
=2
e
−ω(τ −τ
′ ) θ(τ − τ
′ )+e
−ω(τ
′ −τ ) θ(τ
′ − τ )
=2e
−ω|τ −τ
′ |
Le propagateur euclidien est donc bien
D E (τ )=
1
2ω
e
−ω|τ |