20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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la contribution
−
x b
2sinhωT
τ b
τa
sinh ω(τ − τ a )j(τ )dτ
et en ajoutant les deux contributions, un total
−
x b
sinh ωT
τ b
τa
sinh ω(τ − τ a )j(τ )dτ
En résumé,
y ˙
y
τ b
τa
=
ω cosh ωT
sinh ωT
x
2
a + x
2
b
−
2ωx a x b
sinh ωT
−
x b
sinh ωT
τ b
τa
sinh ω(τ − τ a )j(τ )dτ
−
x a
sinh ωT
τ b
τa
sinh ω(τ b − τ )j(τ )dτ
Intégration sur x a et x b . Définissons
I a =
τ b
τa
sinh ω(τ b − τ )j(τ )dτy a =
x a
sinh ωT
I a
I b =
τ b
τa
sinh ω(τ − τ a )j(τ )dτy b =
x b
sinh ωT
I b
L’intégrale à calculer est une gaussienne (i = a, b)
dx a dx b exp
⎡
⎣ −
1
2
2
i,j=1
x i A ij x j +
2
i=1
x i y i
⎤
⎦
=
2π
(det A) 1/2 exp
⎡
⎣ −
1
2
2
i,j=1
y i A
−1
ij y j
⎤
⎦
La matrice A
−1 est donnée par
A
−1 =
1
2ω
1
e
−ωT
e
−ωT
1
Comme l’origine des temps est arbitraire, il sera commode de choisir τ a =0,
τ b = T
I a =
τ b
τa
sinh ω(T − τ )j(τ )dτy a =
x a
sinh ωT
I a
I b =
τ b
τa
sinh ωτ j(τ )dτy b =
x b
sinh ωT
I b