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Physique quantique : Exercices et applications
on obtient pour le coefficient de δ(τ )
˙
u(0)v(0) − u(0) ˙
v(0) = λλ
′ ω
2 sinh ω(τ b − τ a )=1
2. Partons de l’action euclidienne
S E [y]=
τ b
τa
1
2
˙
y
2 +
1
2
ω
2 y
2 − jy
dτ
Comme y(τ ) vérifie les équations du mouvement, δS E /δy =0;d ep l u s ,S E
est quadratique en y et par conséquent,
S E (y + h)=S E (y)+S E (h)
En utilisant
d
dτ
(y ˙
y)= ˙
y
2 + y ˙
y =˙ y
2 + y(ω
2 y − j)
on obtient
˙
y
2 =
d
dτ
(y ˙
y) − ω
2 y
2 + jy
d’où
S E (y)=
1
2
y ˙
y
τ b
τa
−
1
2
τ b
τa
jydτ
3. La fonction y 0 (τ ) est une combinaison linéaire de deux solutions u(τ )
et v(τ ).P o u rq u ey 0 (τ a )=x a et y 0 (τ b )=x b , il suffit de choisir
y 0 (τ )=
1
sinh ωT
[x b sinh ω(τ − τ a )+x a sinh ω(τ b − τ )]
Ceci permet de calculer
y 0 (τ b )˙ y 0 (τ b ) − y 0 (τ a )˙ y 0 (τ a )=
ω cosh ωT
sinh ωT
x
2
a + x
2
b
−
2ωx a x b
sinh ωT
On doit ensuite calculer
τ b
τa
j(τ )y(τ )dτ =
τ b
τa
j(τ )dτ
y 0 (τ )+
τ b
τa
dτ
′ G(τ, τ
′ )j(τ
′ )
Il existe une autre contribution à x b ˙
x b − x a ˙
x a venant, par exemple pour x b ,
de
x b
τ b
τa
˙
G(τ b ,τ)j(τ )dτ = −
x b
sinh ωT
τ b
τa
sinh ω(τ − τ a )j(τ )dτ
Par ailleurs, on obtient de
−
1
2
τ b
τa
y 0 (τ )j(τ )dτ