20. Corrigés d’une sélection d’exercices
941
et sa dérivée seconde
d
2
dt 2 X(t)=−2iωδ(t) − ω
2 X(t)
soit
d
2
dt 2 D F (t)+ω
2 D F = −iδ(t)
2. Les pôles de l’intégrand sont à k 0 = −ω + iη et à k 0 = ω − iη.P o u r
t>0 (t<0), on referme le contour par un grand demi-cercle dans le demi-plan
supérieur (inférieur) et on encercle donc le pôle à k 0 = −ω + iη (k 0 = ω − iη).
En prenant le résidu du pôle
t>0:D F (t)=
1
2ω
e
−iωt
t<0:D F (t)=
1
2ω
e
iωt
3.
d
dτ
e
−ω|τ | = −ε(τ )ωe
−ω|τ |
où ε(τ ) est la fonction signe de τ . On en déduit
d
2
dτ 2 e
−ω|τ | = −2ωδ(τ )+ω
2 e
−ω|τ |
12.7.6 Calcul de la fonctionnelle génératrice pour
l’oscillateur harmonique
1. Vérifions que la fonction de Green G(τ ) est
G(τ )=θ(τ )u(τ )v(0) + θ(−τ )v(τ )u(0)
Calculons sa dérivée première
d
dτ
G(τ )=θ(τ )˙ u(τ )v(0) + θ(−τ )u(0) ˙
v(τ )
puis sa dérivée seconde
d
2
dτ 2 G(τ )=δ(τ )[ ˙
u(0)v(0) − u(0) ˙
v(0)] + θ(τ )¨ u(τ )v(0) + θ(−τ )u(0)¨ v(τ )
soit, en utilisant les équations du mouvement pour u(τ ) et v(τ )
d
2
dτ 2 G(τ )=δ(τ )[ ˙
u(0)v(0) − u(0) ˙
v(0)] + ω
2 G(τ )
Compte tenu de
˙
u(0) = −λω cosh(ωτ b )˙ v(0) = λ
′ ω sinh(ωτ a )