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Physique quantique : Exercices et applications
Par différentiation fonctionnelle
F (x b ,τ b ; τ, τ
′ ; x a ,τ a )=
1
Z(j =0)
δ
2 Z(j)
δj(τ )δj(τ ′ )
Introduisons la fonctionelle génératrice
Z(j)=
x b
xa
Dx(τ )exp
−
1
+∞
−∞
1
2
m
dx
dτ
2
+ V (x(τ )) − j(τ )x(τ )
dτ
en prenant la dérivée fonctionnelle, et compte tenu des résultats précédents
0|T (X H (τ )X H (τ
′ ))|0 =
1
Z(j =0)
δ
2 Z(j)
δj(τ )δj(τ ′ )
Pour τ>τ
′ ,
0|T (X H (τ )X H (τ
′ ))|0 = 0|X H (τ )X H (τ
′ )|0 =
n
||0|X|n|
2 e
−En(τ −τ
′ )/
et
0|X H (τ )|0 = 0|X|0
Le terme n =0disparaît quand on prend la partie connexe, et lorsque
(τ − τ
′ ) →∞
0|T (X H (τ )X H (τ
′ ))|0 =≃||0|X|1|
2 e
−E1|τ −τ
′ |/
Le comportement asymptotique est contrôlé par l’énergie du premier niveau
excité.
3. Pour obtenir la fonction de partition, on doit poser x a = x b = x et
intégrer sur x. La partie connexe x(τ )x(τ
′ ) c est donnée par la même intégrale
de chemin que 0|T (X H (τ )X H (τ
′ ))|0 et donc
x(τ )x(τ
′ ) c ≃ e
−E1|τ −τ
′ |/
ξ = /E 1
12.7.4 Propagateur de Feynman et propagateur
euclidien
1. Soit
X(t)=θ(t)e
−iωt + θ(−t)e
iωt
Calculons sa dérivée première
d
dt
X(t)=−iω
θ(t)e
−iωt − θ(−t)e
iωt