20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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L’action de R
−(2) (−π, π/2) sur l’ion 2 donne
|Ψ
′ = R
−(2) (−π, π/2)|Ψ = a|00, 0 + b|00, 1 + c|10, 0 + d|10, 1
Nous appliquons ensuite R
+(1)
αβ
sur l’ion 1
|Ψ
′′ = R
+(1)
αβ |Ψ
′ = −a|00, 0−b|00, 1 + c|10, 0−d|10, 1
et finalement R
−(2) (π, π/2) sur l’ion 2
|Ψ
′′′ = R
−(2) (π, π/2)|Ψ
′′ = −a|00, 0−b|01, 0 + c|10, 0−d|11, 0
=( −a|00−b|01 + c|10−d|11) ⊗|0
Ceci donne précisément l’action d’une porte cZ à un facteur de phase trivial
près.
20.12 Exercices du chapitre 12
12.7.2 Longueur de corrélation et niveau excité
1. En introduisant I =
n |nn| =
m |mm|
F (x b ,τ b ; τ, τ
′ ; x a ,τ a )=
n,m
e
−En(τ b −τ )/ x b |nn|X e
−H(τ −τ
′ )/
×X e
Em(τa−τ
′ )/ |x a
Lorsque τ b →∞,seulletermen =0subsiste,etdemêmeseulletermem =0
subsiste pour τ a →−∞. Comme
x b |0 = ϕ 0 (x b )
0|x a = ϕ
∗
0 (x a )
on obtient
lim
τa→−∞
lim
τ b →+∞
F = ϕ 0 (x b )ϕ
∗
0 (x a )0|X e
−H(τ −τ
′ )/ X|0
2. De
F (x b ,τ b |x a ,τ a = x b |e
−H(τ −τ
′ )/ x a
on en déduit par la même méthode qu’à la question 1
0|T (X H (τ )X H (τ
′ ))|0 = lim
τa→−∞
lim
τ b →+∞
F (x b ,τ b ; τ, τ
′ ; x a ,τ a )
F (x b ,τ b |x a ,τ a )
Introduisons la fonctionnelle génératrice
Z(j)=
x(τ b )=x b
x(τa)=xa
Dx(τ )exp
−
1
τ b
τa
1
2
m
dx
dτ
2
+V (x(τ )) − j(τ )x(τ )) dτ ]