20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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3. Écrivant
e
±iη(˜ a+˜ a
† ) ≃ I ± iη(˜ a +˜ a
† )
et en conservant uniquement les termes du premier ordre en η, nous obtenons
˜
H int =
i
2
ηω 1
σ + a e
i(δ−ωz)t e
−iφ − σ − a
† e
−i(δ−ωz)t e
iφ
+ σ + a
† e
i(δ+ωz)t e
−iφ − σ − a e
−i(δ+ωz)t e
iφ
La première ligne de ˜
H int correspond à une résonance à δ = ω − ω 0 = ω z ,
c’est-à-dire, ω = ω 0 + ω z , une bande latérale bleue, et la seconde ligne à une
résonance à ω = ω 0 − ω z , une bande latérale rouge. Le terme en σ + a de la
bande latérale rouge induit des transitions de |0,m+1 vers |1,m,etleterme
σ − a
† des transitions de |1,m vers |0,m+1.D ep l u s ,
m|a|m +1 = m +1|a
† |m =
√
m +1
de sorte que nous obtenons l’expression de l’énoncé pour ˜
H
+
int ,a v e c
a b =
a
√
m +1
a
†
b =
a
†
√
m +1
La fréquence de Rabi est donc ω 1
√
m +1. Le même raisonnement s’applique
à la bande latérale rouge. Le schéma des niveaux est donné sur la figure 20.1.
4. Les opérateurs de rotation R(θ, φ) sont donnés par
R(θ, φ =0) = I cos
θ
2
− iσ x sin
θ
2
R
θ, φ =
π
2
= I cos
θ
2
− iσ y sin
θ
2
de sorte que
R(π, 0) = −iσ x
R
π,
π
2
= −iσ y
Nous avons, par exemple,
R
π,
π
2
R(β, 0)R
π,
π
2
=( −iσ y )(I cos
β
2
+ iσ x sin
β
2
)(−iσ y )
= −(I cos
β
2
+ iσ x sin
β
2
)=−R(−β, 0)
Appelons A la transition |0, 0↔| 1, 1 et B la transition |0, 1↔| 1, 2.L e s
fréquences de Rabi sont liées par ω B =
√
2 ω A . Par conséquent, si l’angle
de rotation est θ A pour la transition A, cet angle sera θ B =
√
2 θ A pour la
transition B. Pour la transition A, nous choisissons α = π/
√
2 et β = π
R
π
√
2
,
π
2
R(π, 0)R
π
√
2
,
π
2
R(π, 0) = −I