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Physique quantique : Exercices et applications
11.6.11 États GHZ
1. Examinons par exemple l’action de Σ a sur |Ψ.C o m p t et e n ud e
σ x |+ = |−−
σ x |−− = |+
σ y |+ = i|−−
σ y |−− = −i|−−
nous avons
Σ a |Ψ =
1
√
2
(i)
2 | − −−− − (−i)
2 | +++
= |Ψ
Comme |Ψ est vecteur propre de Σ a avec la valeur propre +1, le produit
A x B y C y du résultat des mesures de σ xa , σ yb et σ yc sera A x B y C y =1.
2. Nous avons cette fois
Σ|Ψ =
1
√
2
[| − −−− − | +++]=−|Ψ
et donc A x B x C x = −1. Or, compte tenu de A
2
y = B
2
y = C
2
y =1
A x B x C x =(A x B y C y )(A y B x C y )(A y B y C x )=+1
et il y a donc contradiction avec la localité : après avoir interagi initialement,
les spins ne peuvent pas transporter l’information sur les valeurs de A x ···C y .
11.6.13 Discrimination entre deux états non
orthogonaux
1. Étant donné que
sin
2 θ +cos2θ =cos
2 θ
la norme du vecteur cos θ|0 A ⊗ 1 B est inchangée. Nous avons
|Φ ± →± sin θ|1 A ⊗ 0 B +sinθ|0 A ⊗ 0 B
=
√
2s i nθ |± A ⊗ 0 B +cos
1/2 2θ|1 A ⊗ 1 B
2. L’état |0 B est corrélé à deux états orthogonaux de A, |+ A et |− A ,
et ces états peuvent être distingués sans ambiguïté dans une mesure. L’état
|1 A est corrélé à |1 B quel que soit l’état |ψ A . On peut donc effectuer la
distinction avec une probablité
2sin
2 θ =1− cos 2θ =1−−ψ − |ψ +
Noter en effet que
2sin
2 θ +cos2θ =1
Physique quantique : Exercices et applications
11.6.11 États GHZ
1. Examinons par exemple l’action de Σ a sur |Ψ.C o m p t et e n ud e
σ x |+ = |−−
σ x |−− = |+
σ y |+ = i|−−
σ y |−− = −i|−−
nous avons
Σ a |Ψ =
1
√
2
(i)
2 | − −−− − (−i)
2 | +++
= |Ψ
Comme |Ψ est vecteur propre de Σ a avec la valeur propre +1, le produit
A x B y C y du résultat des mesures de σ xa , σ yb et σ yc sera A x B y C y =1.
2. Nous avons cette fois
Σ|Ψ =
1
√
2
[| − −−− − | +++]=−|Ψ
et donc A x B x C x = −1. Or, compte tenu de A
2
y = B
2
y = C
2
y =1
A x B x C x =(A x B y C y )(A y B x C y )(A y B y C x )=+1
et il y a donc contradiction avec la localité : après avoir interagi initialement,
les spins ne peuvent pas transporter l’information sur les valeurs de A x ···C y .
11.6.13 Discrimination entre deux états non
orthogonaux
1. Étant donné que
sin
2 θ +cos2θ =cos
2 θ
la norme du vecteur cos θ|0 A ⊗ 1 B est inchangée. Nous avons
|Φ ± →± sin θ|1 A ⊗ 0 B +sinθ|0 A ⊗ 0 B
=
√
2s i nθ |± A ⊗ 0 B +cos
1/2 2θ|1 A ⊗ 1 B
2. L’état |0 B est corrélé à deux états orthogonaux de A, |+ A et |− A ,
et ces états peuvent être distingués sans ambiguïté dans une mesure. L’état
|1 A est corrélé à |1 B quel que soit l’état |ψ A . On peut donc effectuer la
distinction avec une probablité
2sin
2 θ =1− cos 2θ =1−−ψ − |ψ +
Noter en effet que
2sin
2 θ +cos2θ =1