20. Corrigés d’une sélection d’exercices
931
puisque T 2 est le temps de relaxation transverse, et donc
U (t)ρ(t =0)U
† (t)=
1
2
I +
1
2
δp σ y e
−t/T2
indépendamment de δ. L’opération de rotation du spin d’un angle π permet de
réaligner les spins dans une même direction : dans l’intervalle [0,t/2],lesspins
s’alignent de façon aléatoire, car chaque spin voit un désaccord δ différent,
mais après renversement des spins, l’évolution dans l’intervalle [t/2,t] réaligne
tous les spins dans une même direction.
2. Par définition du produit tensoriel de deux opérateurs
(A ⊗ B)|ϕ ⊗ ψ = |Aϕ ⊗ Bψ
d’où l’on déduit
(A ⊗ B)
2 = A
2 ⊗ B
2
et
σ
(1)
z ⊗ σ
(2)
z
2
= I
Ceci donne l’expression de U 12 (t) en développant l’exponentielle. L’opérateur
de rotation de π est
U [R
(1)
x (π)] = −iσ x
Afin de simplifier les notations, posons σ
(i)
x = X i , σ
(i)
y = Y i et σ
(i)
z = Z i ,d ’ o ù
U 12 (t)(X 1 )U 12 (t)=[X 1 cos ω 12 t +(Y 1 ⊗ Z 2 )sinω 12 t] U 12 (t)=X 1
Comme le temps caractéristique de l’évolution due au couplage des spins est
très grand par rapport à la durée d’une rotation de Rabi, on peut négliger
cette évolution propre pendant la durée de la rotation, qui est essentiellement
instantanée à l’échelle de l’évolution libre.
3. Les valeurs propres de σ
(1)
z ⊗ σ
(2)
z sont +1 et −1. En l’absence de champ
de radiofréquences, on aura donc 4 niveaux d’énergie
(δ
(1) + δ
(2) + ω 12 ),
(δ
(1) − δ
(2) − ω 12 ),
(−δ
(1) + δ
(2) + ω 12 ),
(−δ
(1) − δ
(2) + ω 12 )
Ces niveaux sont représentés sur la figure 5.10, avec les 4 transitions permises,
qui ont donc pour fréquences
2|δ
(1) ± ω 12 |
2|δ
(2) ± ω 12 |
11.6.6 Inégalité de Wigner
La variable σ 1 τ 2 par exemple n’est pas admissible car elle est non locale.
Une distribution de probabilité ne contredisant pas la localité est
p(σ 1 ,σ 2 ,σ 3 ; τ 1 ,τ 2 ,τ 3 )
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puisque T 2 est le temps de relaxation transverse, et donc
U (t)ρ(t =0)U
† (t)=
1
2
I +
1
2
δp σ y e
−t/T2
indépendamment de δ. L’opération de rotation du spin d’un angle π permet de
réaligner les spins dans une même direction : dans l’intervalle [0,t/2],lesspins
s’alignent de façon aléatoire, car chaque spin voit un désaccord δ différent,
mais après renversement des spins, l’évolution dans l’intervalle [t/2,t] réaligne
tous les spins dans une même direction.
2. Par définition du produit tensoriel de deux opérateurs
(A ⊗ B)|ϕ ⊗ ψ = |Aϕ ⊗ Bψ
d’où l’on déduit
(A ⊗ B)
2 = A
2 ⊗ B
2
et
σ
(1)
z ⊗ σ
(2)
z
2
= I
Ceci donne l’expression de U 12 (t) en développant l’exponentielle. L’opérateur
de rotation de π est
U [R
(1)
x (π)] = −iσ x
Afin de simplifier les notations, posons σ
(i)
x = X i , σ
(i)
y = Y i et σ
(i)
z = Z i ,d ’ o ù
U 12 (t)(X 1 )U 12 (t)=[X 1 cos ω 12 t +(Y 1 ⊗ Z 2 )sinω 12 t] U 12 (t)=X 1
Comme le temps caractéristique de l’évolution due au couplage des spins est
très grand par rapport à la durée d’une rotation de Rabi, on peut négliger
cette évolution propre pendant la durée de la rotation, qui est essentiellement
instantanée à l’échelle de l’évolution libre.
3. Les valeurs propres de σ
(1)
z ⊗ σ
(2)
z sont +1 et −1. En l’absence de champ
de radiofréquences, on aura donc 4 niveaux d’énergie
(δ
(1) + δ
(2) + ω 12 ),
(δ
(1) − δ
(2) − ω 12 ),
(−δ
(1) + δ
(2) + ω 12 ),
(−δ
(1) − δ
(2) + ω 12 )
Ces niveaux sont représentés sur la figure 5.10, avec les 4 transitions permises,
qui ont donc pour fréquences
2|δ
(1) ± ω 12 |
2|δ
(2) ± ω 12 |
11.6.6 Inégalité de Wigner
La variable σ 1 τ 2 par exemple n’est pas admissible car elle est non locale.
Une distribution de probabilité ne contredisant pas la localité est
p(σ 1 ,σ 2 ,σ 3 ; τ 1 ,τ 2 ,τ 3 )