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Physique quantique : Exercices et applications
Les fréquences propres sont
ω k =2A(1 − cos k s l)
|k s |→0 ω k ≃ (Al
2 )k
2
s
Il est également intéressant d’adapter la méthode du § 5.1.2 en remarquant
que H peut s’écrire sous la forme
H = −A
U P + U
−1
P − 2
où U P effectue une permutation circulaire des spins n → n +1 et chercher les
vecteurs propres |Ψ s de U P .É c r i v a n t
|Ψ s =
n
c
s
n |Ψ n
U P |Ψ s = e
iδs |Ψ s
avec
δ s =
2πs
N
= k s l
On doit avoir
c n+1 = e
iδs c n
11.6.4 Écho de spin et décomposition des niveaux en
RMN
1. Le calcul de ˜
a(ω) donne
˜
a(ω)=
2
1/T 2 − iδ
En utilisant (3.59) et σ i σ j = δ ij + i
k ε ijk σ k ,o nm o n t r e
e
−iασz σ y e
−iασz =(I cos α − iσ z sin α)σ y (I cos α − iσ z sin α)=σ y
ce qui donne
U (t)=−iσ y
Partant de
ρ(t =0)=
1
2
I +
1
2
δp σ y
on obtient en l’absence de relaxation
U (t)
1
2
I +
1
2
δp σ y
U
† (t)=
1
2
I +
1
2
δp σ y
En présence de relaxation,
δp = δp(t =0)e
−t/T2