20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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Si le vecteur d’état est tel que ( σ n · σ n+1 )=1 , on obtient le fondamental
E 0 =0. Ce vecteur d’état est
Φ 0 = | +++···++
car
( σ n · σ n+1 )|Φ 0 = |Φ 0
2. L’opérateur P n,n+1 échange les spins n et n +1 : nous avons vu dans
la question 5 de l’exercice précédent que pour deux spins
P 12 | ++ = | ++P 12 |−−−= |−−−
P 12 | + − = |−+P 12 |−+ = | + −
et le nombre de spins up moins le nombre de spins down est inchangé. Les
vecteurs propres de H sont donc des vecteurs où le nombre de spins up moins
le nombre de spins down est une constante. En particulier pour l’état |Ψ n ,
cette constante est N − 1.L’ opérat eu rI −P n,n+1 appliqué à |Ψ n donne zéro
sur toute paire de spins up, et seules les paires (n − 1,n) et (n, n +1) vont
donner un résultat non nul. Comme P n−1,n , par exemple, échange les spins
n − 1 et n
P n−1,n | ++++− +++ = | +++− ++++
soit
P n−1,n |Ψ n = |Ψ n−1 P n−1,n |Ψ n−1 = |Ψ n
on obtient
(I −P n−1,n )|Ψ n = |Ψ n −|Ψ n−1
(I −P n,n+1 )|Ψ n = |Ψ n −|Ψ n+1
Ceci donne l’action de H sur |Ψ n
H|Ψ n = −A
|Ψ n−1 + |Ψ n+1 −2|Ψ n
3. Examinons l’action de H sur |k s
H|k s =
N −1
n=0
e
iksnl H|Ψ n = −A
N −1
n=0
e
iksnl
|Ψ n−1 + |Ψ n+1 −2|Ψ n
mais
n
e
iksnl |Ψ n−1 =
n
e
iks(n−1)l e
iksl |Ψ n−1 = e
iksl
n
e
iksnl |Ψ n = e
iksl |k s
On a donc
H|k s =2A(1 − cos k s l)|k s