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Physique quantique : Exercices et applications
– |I, |II, |III sont vecteurs propres de H avec la valeur propre E 0 + A
– |IV est vecteur propre de H avec la valeurs propre E 0 − 3A
7. Le facteur gyromagnétique du positron est l’opposé de celui de l’électron : γ e + = −γ e − = −q e /m. Le hamiltonien total s’écrit
H = H 0 − ( μ e − + μ e + ) ·
B = H 0 −
q e
2m
(σ 1z − σ 2z )
Examinons l’action de l’opérateur (σ 1z − σ 2z ) sur les vecteurs de base de H 0
(σ 1z − σ 2z )| ++ =0
(σ 1z − σ 2z )|−−−=0
(σ 1z − σ 2z )|II =2|IV
et
II|H 1 |IV = IV |H 1 |II =2
−
q e
2m
=2Ax
La forme matricielle de H est, dans la base {|I, |II, |III, |IV }
H =
⎛
⎜
⎜
⎝
E 0 + A
00
0
0
E 0 + A
02 Ax
00
E 0 + A
0
02 Ax
0
E 0 − 3A
⎞
⎟
⎟
⎠
Il y a donc deux vecteurs propres évidents |I et |III avec les valeurs propres
E 0 + A. Les deux autres valeurs propres sont obtenues en diagonalisant la
matrice 2 × 2
H
′ = E 0 I + A
12 x
2x −3
= E 0 I + AM
L’équation aux valeurs propres de M est
λ
2 +2λ − (3 + 4x
2 )=0
ce qui donne les valeurs de l’énergie
E ± = E 0 − A ± 2A
1+x 2
Pour x =0, on retrouve les valeurs E 0 +A et E 0 −3A, tandis que pour |x|→∞,
les vecteurs propres tendent vers ceux de (σ 1z − σ 2z ) avec les valeurs propres
±2Ax.
11.6.3 Ondes de spin et magnons
1. Comme les valeurs propres de ( σ n · σ n+1 ) sont comprises entre −3
et +1
E ≥
1
2
NA −
1
2
NA =0