20. Corrigés d’une sélection d’exercices
927
et σ 1z σ 2z |ε 1 ε 2 = ε 1 ε 2 |ε 1 ε 2 , d’où l’action de σ 1 · σ 2
σ 1 · σ 2 | ++ = | ++
σ 1 · σ 2 | + − =2 |−+−|+ −−
σ 1 · σ 2 |−+ =2 | + −− − | − +
σ 1 · σ 2 |−−− = |−−−
Les états |I, |II et |III sont des états de spin 1, et |IV un état de spin 0.
On trouve plus simplement l’action de σ 1 · σ 2 en utilisant la composition de
deux spins 1/2 (§ 9.6.1).
3. Les résultats de la question précédente impliquent
σ 1 · σ 2 |I = |I
σ 1 · σ 2 |III = |III
ainsi que
σ 1 · σ 2 |II =
1
√
2
(| + −− + |−+)=|II
σ 1 · σ 2 |IV = −3
1
√
2
(| + −− − | − +)=−3|IV
4. Dans la base {|I, |II, |III, |IV }, les projecteurs P 1 et P −3 ainsi que
σ 1 · σ 2 sont diagonaux
P 1 =
⎛
⎜
⎜
⎝
1000
0100
0010
0000
⎞
⎟
⎟
⎠
P −3 =
⎛
⎜
⎜
⎝
0000
0000
0000
0001
⎞
⎟
⎟
⎠
σ 1 · σ 2 =
⎛
⎜
⎜
⎝
100 0
010 0
001 0
000−3
⎞
⎟
⎟
⎠
Si P 1 = λI + μμ σ 1 · σ 2 ,o nd o i ta v o i r
λ + μ =1 et λ − 3μ =0
soit λ =3/4 et μ =1/4. On déduit P 3 = I −P 1
P 1 =
1
4
(3I + σ 1 · σ 2 )
P −3 =
1
4
(I − σ 1 · σ 2 )
5. On a immédiatement P 12 | ++ = | ++ et P 12 |−−−= |−−−, tandis
que
P 12 | + − =
1
2
(| + −− +2|−+−|+ −−)=|−+
et en général P 12 |ε 1 ε 2 = |ε 2 ε 1 .
6. On connaît les valeurs propres et les vecteurs propres de σ 1 · σ 2 ,etdonc
ceux de H