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Physique quantique : Exercices et applications
Soit
ρ
′ =
i
p i |ii|
ρ
′′ =
α
p α |αα|
les décompositions de ρ
′ et ρ
′′ sur deux bases orthonormées. Nous avons
Tr (ρ
′ ρ
′′ )=
n,i,α
p i p α n|ii|αα|n =
i,α
p i p α ||i|α|
2
et l’inégalité découle immédiatement de |i|α|
2 ≤ 1.S iρ
′ = ρ
′′ = ρ,a l o r s
i|α = δ iα et
Tr ρ
2 =
i
p
2
i
3. La condition nécessaire et suffisante pour que Tr ρ
2 =1est qu’un seul
des p i soit non nul, et donc égal à un : ρ représente alors le cas pur |i.S i
ρ = λρ
′ +(1− λ)ρ
′′
alors
Tr ρ
2 = λ
2 Tr (ρ
′ )
2 +(1− λ)
2 Tr (ρ
′′ )
2 +2λ(1 − λ)Tr (ρ
′ ρ
′′ )
On ne peut avoir Tr ρ
2 =1que si Tr (ρ
′ ρ
′′ )=1,e td o n cρ
′ = ρ
′′ =1.
4. On a manifestement ρ ij = ρ
∗
ji et
Tr ρ =
i
ρ ii =
i,m
|c im |
2 =1
d’après (11.6). La positivité se montre en remarquant que, si |ϕ =
i λ i |i
ϕ|ρ|ϕ =
i,j
λ
∗
i ρ ij λ i =
i,j,m
λ
∗
i c im c
∗
jm λ i =
m
i
λ
∗
i c im
2
≥ 0
11.6.2 Structure fine et effet Zeeman du positronium
1. La masse réduite est la moitié de celle de l’électron et les niveaux
d’énergie se déduisent de (1.36)
E n = −
R ∞
2n 2
2. Écrivons explicitement l’action de σ x et σ y sur les vecteurs |ε 1 ε 2
σ 1x σ 2x | ++ = |−−−
σ 1y σ 2y | ++ = −| − −−
σ 1x σ 2x | + − = |−+
σ 1y σ 2y | + − = |−+
σ 1x σ 2x |−+ = | + −
σ 1y σ 2y |−+ = | + −
σ 1x σ 2x |−−− = | ++
σ 1y σ 2y |−−−= −| ++