20. Corrigés d’une sélection d’exercices
925
3. Nous avons établi la forme de la dérivée covariante en exigeant j
′ = j,
et par construction
Ω
DΩ
−1 =
D
′
On peut écrire l’équation de Schrödinger indépendante du temps ( = m =1)
1
2
−i
D
2
Φ=EΦΦ = Ω
−1 Φ
′
sous la forme
1
2
Ω
−1 Ω
−i
D
2
Ω
−1 Φ
′ = EΩ
−1 Φ
′
En multipliant les deux membres de l’équation par Ω,o no b t i e n t
1
2
−i
D ′
2
Φ
′ = EΦ
′
20.11 Exercices du chapitre 11
11.6.1 Propriétés des opérateurs statistiques
1. Prenons un vecteur |ϕ de la forme
|ϕ =(0, ··· ,a i , 0, ··· , 0,a j , 0, ··· , 0)
On doit avoir ϕ|ρ|ϕ≥0, ce qui implique que la sous-matrice 2 × 2 A
A =
ρ ii ρ ij
ρ ji ρ jj
doit être positive. D’autre part (ρ ii +ρ jj ), qui est la somme des valeurs propres
de A,v é r i fi e(ρ ii + ρ jj ) ≤ 1. On en déduit que le produit des valeurs propres
de A est ≤ 1/4
0 ≤ ρ ii ρ jj −|ρ ij |
2 ≤
1
4
Si ρ ii =0, ceci implique que ρ ij =0.
2. La condition d’un test maximal avec 100 % de succès implique qu’il
existe un vecteur |ϕ tel que Tr ρP ϕ =1,a v ecP ϕ = |ϕϕ|,e td o n cϕ|ρ|ϕ =
1. On choisit une base orthonormée où |ϕ est, par exemple, le premier vecteur
de la base, |ϕ = |1. Dans ces conditions, les éléments diagonaux de ρ vérifient
ρ 11 =1,ρ ii =0,i =1
car le test |i, |i = |1 a une probabilité nulle. D’après la question précédente,
tous les éléments non diagonaux sont nuls, ρ ij =0,i = j et ρ = |ϕϕ| = |11|.
Montrons d’abord l’inégalité pour deux opérateurs statistiques ρ
′ et ρ
′′
Tr (ρ
′ ρ
′′ ) ≤ 1
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3. Nous avons établi la forme de la dérivée covariante en exigeant j
′ = j,
et par construction
Ω
DΩ
−1 =
D
′
On peut écrire l’équation de Schrödinger indépendante du temps ( = m =1)
1
2
−i
D
2
Φ=EΦΦ = Ω
−1 Φ
′
sous la forme
1
2
Ω
−1 Ω
−i
D
2
Ω
−1 Φ
′ = EΩ
−1 Φ
′
En multipliant les deux membres de l’équation par Ω,o no b t i e n t
1
2
−i
D ′
2
Φ
′ = EΦ
′
20.11 Exercices du chapitre 11
11.6.1 Propriétés des opérateurs statistiques
1. Prenons un vecteur |ϕ de la forme
|ϕ =(0, ··· ,a i , 0, ··· , 0,a j , 0, ··· , 0)
On doit avoir ϕ|ρ|ϕ≥0, ce qui implique que la sous-matrice 2 × 2 A
A =
ρ ii ρ ij
ρ ji ρ jj
doit être positive. D’autre part (ρ ii +ρ jj ), qui est la somme des valeurs propres
de A,v é r i fi e(ρ ii + ρ jj ) ≤ 1. On en déduit que le produit des valeurs propres
de A est ≤ 1/4
0 ≤ ρ ii ρ jj −|ρ ij |
2 ≤
1
4
Si ρ ii =0, ceci implique que ρ ij =0.
2. La condition d’un test maximal avec 100 % de succès implique qu’il
existe un vecteur |ϕ tel que Tr ρP ϕ =1,a v ecP ϕ = |ϕϕ|,e td o n cϕ|ρ|ϕ =
1. On choisit une base orthonormée où |ϕ est, par exemple, le premier vecteur
de la base, |ϕ = |1. Dans ces conditions, les éléments diagonaux de ρ vérifient
ρ 11 =1,ρ ii =0,i =1
car le test |i, |i = |1 a une probabilité nulle. D’après la question précédente,
tous les éléments non diagonaux sont nuls, ρ ij =0,i = j et ρ = |ϕϕ| = |11|.
Montrons d’abord l’inégalité pour deux opérateurs statistiques ρ
′ et ρ
′′
Tr (ρ
′ ρ
′′ ) ≤ 1