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Physique quantique : Exercices et applications
12.3.3 L’effet Aharonov-Bohm
En physique classique, on considère que les potentiels scalaire V et vecteur
A sont des intermédiaires de calcul, certes extrêmement utiles, mais qu’en
dernière analyse seuls les champs
E et
B ont une signification physique car
l’action sur les particules chargées décrite par la loi de Lorentz (1.11) ne dépend que de
E et
B. Comme dans la section précédente, nous nous limitons
pour simplifier à un champ magnétique indépendant du temps. Si une particule chargée traverse une région d’espace où
B =0 , elle ne subit aucun effet
puisque la force de Lorentz est nulle. Comme nous allons le voir sur l’exemple
de l’effet Aharonov-Bohm (A-B), la situation est plus subtile en physique
quantique. Reprenons la discussion de l’expérience des fentes d’Young en la
réalisant avec des particules chargées, et en disposant derrière les fentes un
solénoïde très fin tel que
B s’annule dans toute région de l’espace où la probabilité de présence des particules est non nulle (figure 12.2). Cette région est
fixée par le diagramme de diffraction des deux fentes. On pourrait s’attendre
à ce que la présence du solénoïde n’ait aucun effet observable, en particulier
il ne devrait pas affecter le diagramme d’interférences sur l’écran E.N o u s
allons montrer qu’il n’en est rien. Soit ϕ 1 ( r b ,t b ) et ϕ 2 ( r b ,t b ) les amplitudes de
probabilité de trouver au temps t b la particule au point r b de l’écran quand
elle est passée par la fente 1 (ϕ 1 )o up a rl af e n t e2( ϕ 2 ). En l’absence de
champ magnétique, les amplitudes ϕ 1 ( r b ,t b ) et ϕ 2 ( r b ,t b ) peuvent être calculées à partir de (12.2) par une intégrale de chemin en fonction de l’amplitude
de probabilité à la source ϕ( r a ,t a )
ϕ i ( r b ,t b )=
d
3 r a
b
a(i)
D( r(t)) exp
i
t b
ta
L( r(t))dt
ϕ( r a ,t a )
(12.71)
où le chemin i, i =1 , 2, passe par la fente (i). En présence du solénoïde,
l’exponentielle dans (12.71) devient
exp
i
t b
ta
L( r(t))dt
exp
iq
t b
ta
A ·
d r
dt
dt
et l’exponentielle originale est donc multipliée par le facteur dépendant du
chemin (1 ou 2)
exp
iq
r b
ra(i)
A · d r
(12.72)
Ce facteur est indépendant du temps, et par la suite nous supprimons la
dépendance par rapport à t, qui ne joue aucun rôle ici, en supposant un flux
continu de particules. L’amplitude de probabilité pour trouver la particule en
Physique quantique : Exercices et applications
12.3.3 L’effet Aharonov-Bohm
En physique classique, on considère que les potentiels scalaire V et vecteur
A sont des intermédiaires de calcul, certes extrêmement utiles, mais qu’en
dernière analyse seuls les champs
E et
B ont une signification physique car
l’action sur les particules chargées décrite par la loi de Lorentz (1.11) ne dépend que de
E et
B. Comme dans la section précédente, nous nous limitons
pour simplifier à un champ magnétique indépendant du temps. Si une particule chargée traverse une région d’espace où
B =0 , elle ne subit aucun effet
puisque la force de Lorentz est nulle. Comme nous allons le voir sur l’exemple
de l’effet Aharonov-Bohm (A-B), la situation est plus subtile en physique
quantique. Reprenons la discussion de l’expérience des fentes d’Young en la
réalisant avec des particules chargées, et en disposant derrière les fentes un
solénoïde très fin tel que
B s’annule dans toute région de l’espace où la probabilité de présence des particules est non nulle (figure 12.2). Cette région est
fixée par le diagramme de diffraction des deux fentes. On pourrait s’attendre
à ce que la présence du solénoïde n’ait aucun effet observable, en particulier
il ne devrait pas affecter le diagramme d’interférences sur l’écran E.N o u s
allons montrer qu’il n’en est rien. Soit ϕ 1 ( r b ,t b ) et ϕ 2 ( r b ,t b ) les amplitudes de
probabilité de trouver au temps t b la particule au point r b de l’écran quand
elle est passée par la fente 1 (ϕ 1 )o up a rl af e n t e2( ϕ 2 ). En l’absence de
champ magnétique, les amplitudes ϕ 1 ( r b ,t b ) et ϕ 2 ( r b ,t b ) peuvent être calculées à partir de (12.2) par une intégrale de chemin en fonction de l’amplitude
de probabilité à la source ϕ( r a ,t a )
ϕ i ( r b ,t b )=
d
3 r a
b
a(i)
D( r(t)) exp
i
t b
ta
L( r(t))dt
ϕ( r a ,t a )
(12.71)
où le chemin i, i =1 , 2, passe par la fente (i). En présence du solénoïde,
l’exponentielle dans (12.71) devient
exp
i
t b
ta
L( r(t))dt
exp
iq
t b
ta
A ·
d r
dt
dt
et l’exponentielle originale est donc multipliée par le facteur dépendant du
chemin (1 ou 2)
exp
iq
r b
ra(i)
A · d r
(12.72)
Ce facteur est indépendant du temps, et par la suite nous supprimons la
dépendance par rapport à t, qui ne joue aucun rôle ici, en supposant un flux
continu de particules. L’amplitude de probabilité pour trouver la particule en