12. Méthodes semi-classiques
505
avec 0 ≤ λ ≤ 1. Ce développement permet de récrire la somme dans (12.68)
à l’ordre (x j+1 − x j )
2
ϕ(x b ) − ϕ(x a )=
n−1
j=0
(x j+1 − x j )ϕ
′ (u λj )+
1
2
(x j+1 − x j )
2 (1 − 2λ)ϕ
′′ (u λj )
+ O
(x j+1 − x j )
3
Mais nous avons vu que pour un chemin brownien
(x j+1 − x j )
2 =2D(τ j+1 − τ j )=2Dε
et par conséquent, en prenant la somme sur les chemins browniens
ϕ(x b ) − ϕ(x a )=
n−1
j=0
[(x j+1 − x j )ϕ
′ (u λj )+D(1 − 2λ)(τ j+1 − τ j )ϕ
′′ (u λj )]
+ O
(x j+1 − x j )
3
Nous pouvons maintenant prendre la limite (x j+1 − x j ) → 0,c a rl e st e r m e s
O((x j+1 − x j )
3 ) sont d’ordre (τ j+1 − τ j )
3/2 ∝ ε
3/2 et ne contribuent pas dans
cette limite. On obtient alors le résultat d’Itô
ϕ(x b ) − ϕ(x a )=
x b
xa
dϕ
dx
dx + D(1 − 2λ)
τ b
τa
d
2 ϕ(x(τ ))
dx 2
dτ
(12.69)
Pour éliminer le second terme du membre de droite de (12.69), il faut choisir
λ =1 /2, ou, en d’autres termes, il faut choisir dans le découpage de l’intégrale de chemin l’argument de ϕ au point (x j+1 + x j )/2, au milieu de l’intervalle [x j ,x j+1 ]. L’argument exposé ci-dessus permet également de comprendre
pourquoi le calcul de l’intégrale de V (x(τ )) dans l’exponentielle de (12.40) ne
dépend pas du choix de λ : on peut choisir V (x j ), V (x j+1 ou V [(x j +x j+1 )/2])
ε
j
V (u λj )=ε
j
V (x j )+ελ
j
(x j+1 − x j )V
′ (x j )+···
Comme ελ(x j+1 − x j ) ∝ ε
3/2 , le deuxième terme de la somme ne contribue
pas à la limite ε → 0. Les ambiguïtés ne peuvent se produire que pour des
potentiels dépendant de la vitesse.
Revenant au propagateur en présence d’un champ magnétique, nous
voyons que l’invariance de jauge ne sera satisfaite que si l’on peut écrire
(12.66), c’est-à-dire si on choisit comme argument de
A le vecteur ( r j+1 + r j )/2
t b
ta
A ·
d r
dt
dt = lim
ε→0
j
ε
A
r j+1 + r j
2
·
r j+1 − r j
ε
(12.70)
Une démonstration plus directe de ce résultat s’inspire de de la méthode
utilisée dans l’exercice 12.7.5 : comme l’algèbre est un peu fastidieuse, nous
renvoyons le lecteur au livre de Schulman [1981], chapitre 4, où l’on montre
que le choix effectué dans (12.70) est nécessaire si l’on veut que ϕ obéisse à
l’équation de Schrödinger en présence d’un potentiel vecteur.
505
avec 0 ≤ λ ≤ 1. Ce développement permet de récrire la somme dans (12.68)
à l’ordre (x j+1 − x j )
2
ϕ(x b ) − ϕ(x a )=
n−1
j=0
(x j+1 − x j )ϕ
′ (u λj )+
1
2
(x j+1 − x j )
2 (1 − 2λ)ϕ
′′ (u λj )
+ O
(x j+1 − x j )
3
Mais nous avons vu que pour un chemin brownien
(x j+1 − x j )
2 =2D(τ j+1 − τ j )=2Dε
et par conséquent, en prenant la somme sur les chemins browniens
ϕ(x b ) − ϕ(x a )=
n−1
j=0
[(x j+1 − x j )ϕ
′ (u λj )+D(1 − 2λ)(τ j+1 − τ j )ϕ
′′ (u λj )]
+ O
(x j+1 − x j )
3
Nous pouvons maintenant prendre la limite (x j+1 − x j ) → 0,c a rl e st e r m e s
O((x j+1 − x j )
3 ) sont d’ordre (τ j+1 − τ j )
3/2 ∝ ε
3/2 et ne contribuent pas dans
cette limite. On obtient alors le résultat d’Itô
ϕ(x b ) − ϕ(x a )=
x b
xa
dϕ
dx
dx + D(1 − 2λ)
τ b
τa
d
2 ϕ(x(τ ))
dx 2
dτ
(12.69)
Pour éliminer le second terme du membre de droite de (12.69), il faut choisir
λ =1 /2, ou, en d’autres termes, il faut choisir dans le découpage de l’intégrale de chemin l’argument de ϕ au point (x j+1 + x j )/2, au milieu de l’intervalle [x j ,x j+1 ]. L’argument exposé ci-dessus permet également de comprendre
pourquoi le calcul de l’intégrale de V (x(τ )) dans l’exponentielle de (12.40) ne
dépend pas du choix de λ : on peut choisir V (x j ), V (x j+1 ou V [(x j +x j+1 )/2])
ε
j
V (u λj )=ε
j
V (x j )+ελ
j
(x j+1 − x j )V
′ (x j )+···
Comme ελ(x j+1 − x j ) ∝ ε
3/2 , le deuxième terme de la somme ne contribue
pas à la limite ε → 0. Les ambiguïtés ne peuvent se produire que pour des
potentiels dépendant de la vitesse.
Revenant au propagateur en présence d’un champ magnétique, nous
voyons que l’invariance de jauge ne sera satisfaite que si l’on peut écrire
(12.66), c’est-à-dire si on choisit comme argument de
A le vecteur ( r j+1 + r j )/2
t b
ta
A ·
d r
dt
dt = lim
ε→0
j
ε
A
r j+1 + r j
2
·
r j+1 − r j
ε
(12.70)
Une démonstration plus directe de ce résultat s’inspire de de la méthode
utilisée dans l’exercice 12.7.5 : comme l’algèbre est un peu fastidieuse, nous
renvoyons le lecteur au livre de Schulman [1981], chapitre 4, où l’on montre
que le choix effectué dans (12.70) est nécessaire si l’on veut que ϕ obéisse à
l’équation de Schrödinger en présence d’un potentiel vecteur.