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Physique quantique : Exercices et applications
En admettant pour l’instant la validité de cette manipulation formelle, la
transformation de jauge agit donc de la façon suivante sur le propagateur
K( r b ,t b | r a ,t a ) → K
′ ( r b ,t b | r a ,t a )=e
−iqΛ( r b )/ K( r b ,t b | r a ,t a )e
iqΛ( ra)/
(12.67)
Vérifions que cette loi de transformation du propagateur est bien compatible
avec la transformation de jauge (10.58). En effet, d’après (12.10)
K( r b ,t b | r a ,t a )=
n,s
ϕ ns ( r b )ϕ
∗
ns ( r a )e
−iEn(t b −ta)/
et l’action de la transformation de jauge (10.55) est
ϕ ns ( r) → ϕ
′
ns ( r)=e
−iqΛ( r)/ ϕ ns ( r)
Rappelons que si ϕ obéit à une équation de Schrödinger où figure le potentiel
A,a l o r sϕ
′ obéit à une équation de Schrödinger où
A est remplacé par le
potentiel vecteur transformé de jauge
A
′ , et la loi de transformation (12.67)
de K est bien celle que l’on déduit de la transformation des fonctions d’onde.
La conclusion de cette étude de l’invariance de jauge est que la manipulation
formelle (12.66) doit être correcte, ce que nous allons justifier.
Venons-en donc à la justification de (12.66). Afin de simplifier l’argument,
revenons provisoirement au cas unidimensionnel et à la version euclidienne de
l’intégrale de chemin. Nous avons à évaluer une intégrale du type
x b
xa
dϕ
dx
dx
le long de chemins browniens. Le résultat remarquable observé pour la première fois par Itô est que, en règle générale,
x b
xa
dϕ
dx
dx = ϕ(x b ) − ϕ(x a )
Ce résultat surprenant vient de ce que pour un chemin brownien (∆x)
2 ∝ ∆τ
si ∆τ → 0. Choisissons un chemin en zig-zag de la figure 12.1 avec des points
x 0 = x a ,x 1 ,...,x n−1 ,x n = x b et partons de l’identité
ϕ(x b ) − ϕ(x a )=
n−1
j=0
ϕ(x j+1 ) − ϕ(x j )
(12.68)
Supposant la fonction ϕ suffisamment régulière, effectuons un développement
de Taylor en puissances de (x j+1 − x j ) de
ϕ(x j+1 ) − ϕ(x j )
autour du point
u λj = x j + λ(x j+1 − x j )
Physique quantique : Exercices et applications
En admettant pour l’instant la validité de cette manipulation formelle, la
transformation de jauge agit donc de la façon suivante sur le propagateur
K( r b ,t b | r a ,t a ) → K
′ ( r b ,t b | r a ,t a )=e
−iqΛ( r b )/ K( r b ,t b | r a ,t a )e
iqΛ( ra)/
(12.67)
Vérifions que cette loi de transformation du propagateur est bien compatible
avec la transformation de jauge (10.58). En effet, d’après (12.10)
K( r b ,t b | r a ,t a )=
n,s
ϕ ns ( r b )ϕ
∗
ns ( r a )e
−iEn(t b −ta)/
et l’action de la transformation de jauge (10.55) est
ϕ ns ( r) → ϕ
′
ns ( r)=e
−iqΛ( r)/ ϕ ns ( r)
Rappelons que si ϕ obéit à une équation de Schrödinger où figure le potentiel
A,a l o r sϕ
′ obéit à une équation de Schrödinger où
A est remplacé par le
potentiel vecteur transformé de jauge
A
′ , et la loi de transformation (12.67)
de K est bien celle que l’on déduit de la transformation des fonctions d’onde.
La conclusion de cette étude de l’invariance de jauge est que la manipulation
formelle (12.66) doit être correcte, ce que nous allons justifier.
Venons-en donc à la justification de (12.66). Afin de simplifier l’argument,
revenons provisoirement au cas unidimensionnel et à la version euclidienne de
l’intégrale de chemin. Nous avons à évaluer une intégrale du type
x b
xa
dϕ
dx
dx
le long de chemins browniens. Le résultat remarquable observé pour la première fois par Itô est que, en règle générale,
x b
xa
dϕ
dx
dx = ϕ(x b ) − ϕ(x a )
Ce résultat surprenant vient de ce que pour un chemin brownien (∆x)
2 ∝ ∆τ
si ∆τ → 0. Choisissons un chemin en zig-zag de la figure 12.1 avec des points
x 0 = x a ,x 1 ,...,x n−1 ,x n = x b et partons de l’identité
ϕ(x b ) − ϕ(x a )=
n−1
j=0
ϕ(x j+1 ) − ϕ(x j )
(12.68)
Supposant la fonction ϕ suffisamment régulière, effectuons un développement
de Taylor en puissances de (x j+1 − x j ) de
ϕ(x j+1 ) − ϕ(x j )
autour du point
u λj = x j + λ(x j+1 − x j )