12. Méthodes semi-classiques
503
possible (exercice 12.7.6), et l’on trouve
Z([j]; x b ,t b ; x a ,t a )=
ω
2iπ sin ωt
1/2
× exp
iω
2sinωt
(x
2
a +x
2
b )cosωt − 2x a x b
+
ix a
sin ωt
t b
ta
sin[ω(t b − t
′ )]j(t
′ )dt
′
+
ix b
sin ωt
t b
ta
sin[ω(t
′ − t a )]j(t
′ )dt
′
(12.63)
−
i
ω sin ωt
dt
′ dt
′′ j(t
′ )θ(t
′ − t
′′ )
× sin[ω(t b − t
′ )] sin[ω(t
′′ − t a )]j(t
′′ )
12.3.2 Intégrale de chemin en présence d’un champ
magnétique
Le lagrangien d’une particule chargée de charge q dans un champ magnétique
B, supposé indépendant du temps pour simplifier, s’écrit en fonction du
potentiel vecteur
A (exercice 7.5.8)
L =
1
2
m
d r
dt
2
− V ( r(t)) + q
A ·
d r
dt
(12.64)
Suivant (12.44), le propagateur prend la forme d’une intégrale de chemin
K( r b ,t b | r a ,t a )=
r(t b )= r b
r(ta)= ra
D r(t)exp
i
t b
ta
1
2
m
d r
dt
2
− V ( r(t)) + q
A ·
d r
dt
dt
(12.65)
Nous allons examiner l’action d’une transformation de jauge sur cette expression, ce qui va nous permettre de découvrir une subtilité du découpage de la
figure 12.1 que nous avions passée sous silence jusqu’à présent. Effectuons une
transformation de jauge (10.58) sur
A
A →
A
′ =
A −
∇Λ
Dans ces conditions, on obtient une contribution supplémentaire à l’intégrale
de l’exponentielle dans (12.65)
−iq
t b
ta
d r
dt
·
∇Λ=
−iq
r b
ra
∇Λ · d r =
−iq
[Λ( r b ) − Λ( r a )]
(12.66)
Ainsi que nous allons le voir bientôt, le passage de la seconde à la troisième
expression de (12.66) qui semble pourtant évident, est en fait purement formel.