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Physique quantique : Exercices et applications
(uniquement dans cette sous-section) un système d’unités où = m =1 .E n
présence d’une source j(t), le lagrangien est
L =
1
2
˙
x
2 −
1
2
ω
2 x
2 + j(t)x(t)
(12.57)
l’équation du mouvement correspondante étant
¨
x + ω
2 x = j(t)
(12.58)
L’expression explicite de la fonctionnelle génératrice est
Z([j]; x b ,t b ; x a ,t a )=
x(t b )=x b
x(ta)=xa
Dx(t)exp
i
t b
ta
dt
1
2
˙
x
2 −
1
2
ω
2 x
2 + j(t)x(t)
(12.59)
En procédant de façon un peu cavalière, on effectue une intégration par parties
dans l’intégrale sur t
Z([j]; x b ,t b ; x a ,t a )=
x(t b )=x b
x(ta)=xa
Dx(t)
× exp
i
t b
ta
dt
−
1
2
x
d
2
dt 2 + ω
2
x + j(t)x(t)
(12.60)
L’intégrale dans (12.60) est une intégrale gaussienne que l’on calcule explicitement
8
Z([j]; x b ,t b ; x a ,t a )=Z([j =0];x b ,t b ; x a ,t a )exp
−
1
2
t b
ta
dt dt
′ j(t)D(t−t
′ )j(t
′ )
(12.61)
où D(t) est une fonction de Green de l’oscillateur harmonique (à un facteur −i
près)
d
2
dt 2 + ω
2
D(t)=−iδ(t)
(12.62)
D(t) est “l’inverse” de l’opérateur i(d
2 /dt
2 + ω
2 ). Toutefois, comme nous
l’avons déjà remarqué, l’équation (12.62) ne définit pas D(t) de façon unique,
et cette équation doit être complétée par des conditions aux limites choisies
en fonction du problème posé (exercice 12.7.4). Le calcul explicite de Z est
8. L’exercice 2.5.7, eq. (2.69), montre que pour calculer une intégrale gaussienne, il faut
inverser la matrice A qui intervient dans l’exposant de (12.61). Cet inverse est donné par
la solution de (12.62).