12. Méthodes semi-classiques
501
tandis que pour t ′
F = x b ,t b |X H (t
′ ) X H (t)|x a ,t a
Nous allons tenir compte des deux ordres possibles de t et t
′ en définissant le
produit-T d’opérateurs position X dans la représentation de Heisenberg par
T
X H (t)X H (t
′ )
= X H (t)X H (t
′ )
t>t
′
= X H (t
′ )X H (t)
t
′ >t
(12.53)
Nous obtenons la représentation de l’élément de matrice du produit-T sous
forme d’intégrale de chemin de F , valable quel que soit l’ordre des temps t
et t
′
x b ,t b |T
X H (t)X H (t
′ )
|x a ,t a =
x(t b )=x b
x(ta)=xa
Dx(t) x(t)x(t
′ )
× exp
i
t b
ta
1
2
m
dx
dt
2
− V (x(t))
dt
(12.54)
Cette équation se généralise facilement à la fonctionnelle génératrice des
produits-T , Z[j(t)] (cf. la note 7), où j(t) est appelé source (exercice 12.7.3)
Z([j]; x b ,t b ; x a ,t a )=
x(t b )=x b
x(ta)=xa
Dx(t)e x p
i
S[x(t)] + i
t b
ta
j(t)x(t)dt
(12.55)
qui permet de calculer les éléments de matrice de produits-T par différentiation fonctionnelle, par exemple
x b ,t b |T
X H (t)X H (t
′ )
|x a ,t a =
(−i)
2
Z([j =0];x b ,t b ; x a ,t a )
×
δ
2 Z([j]; x b ,t b ; x a ,t a )
δj(t)δj(t ′ )
j=0
(12.56)
où la valeur moyenne du produit-T a été normalisée en divisant par
Z([j =0];x b ,t b ; x a ,t a ).
12.3 Applications de l’intégrale de chemin
12.3.1 Oscillateur harmonique
Le cas de l’oscillateur harmonique est instructif car on peut mener jusqu’au
bout des calculs analytiques. Afin de simplifier les formules, nous utiliserons