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Physique quantique : Exercices et applications
Si |x j+1 − x j |≫(ε/m)
1/2 ,l ef a c t e u rexp(iS/) oscille un grand nombre
de fois quand on passe d’un chemin à un chemin voisin : les contributions
principales viennent des chemins browniens. Il faut souligner que dans (12.45)
ou (12.48), on intègre sur tous les chemins possibles tels que x(t a )=x a et
x(t b )=x b , et pas seulement sur les trajectoires classiques, celles qui obéissent
aux équations du mouvement ! Le formalisme de l’intégrale de chemin fait
intervenir uniquement des quantités classiques, des nombres et des fonctions.
Il offre une formulation alternative de la mécanique quantique, où n’interviennent ni les espaces de Hilbert, ni les opérateurs.
Les trajectoires classiques x cl (t) (il peut y en avoir plusieurs) sont celles
qui rendent l’action stationnaire
δS
δx(t)
x(t)=x cl (t)
=0
(12.49)
Considérons un chemin x(t),s o i tS l’action correspondante et supposons
S ≫ .S i|S − S cl |≫, alors le facteur exp(iS/) oscille un grand nombre
de fois quand on passe de x cl (t) à x(t), et un tel chemin va contribuer de
façon négligeable au propagateur K. Lorsque l’action classique est grande par
rapport à , l’intégrale de chemin est dominée par les trajectoires proches des
trajectoires classiques, et on pourra envisager un développement en puissances
de autour de ces trajectoires. En physique statistique, l’approximation correspondante est l’approximation de Landau.
Une application importante des intégrales de chemin est l’écriture des produits ordonnés dans le temps d’opérateurs, aussi appelés produits-T d’opérateurs. Considérons l’élément de matrice suivant pour t>t
′
F (x b ,t b ; t, t
′ ; x a ,t a ):=x b |e
−iH(t b −t)/ X e
−iH(t−t
′ )/ X e
−iH(t
′
−ta) |x a t> t
′
(12.50)
où X est l’opérateur position, et choisissons le chemin en zig-zag de la
figure 12.1 pour évaluer cet élément de matrice. Comme x j est la position
de la particule au temps t j , x j = x(t j ), nous obtenons en introduisant un
système complet d’états propres de X
dx j X|x j x j | =
dx j x j |x j x j | =
dx j x(t j )|x j x j |
Mais nous pouvons exprimer F en terme de l’opérateur position dans la représentation de Heisenberg
X H (t)=e
iHt/ X e
−iHt/
(12.51)
en définissant |x, t par
|x, t = e
iHt/ |x
(12.52)
Lorsque t>t
′ , F s’écrit
F = x b ,t b |X H (t) X H (t
′ )|x a ,t a
Physique quantique : Exercices et applications
Si |x j+1 − x j |≫(ε/m)
1/2 ,l ef a c t e u rexp(iS/) oscille un grand nombre
de fois quand on passe d’un chemin à un chemin voisin : les contributions
principales viennent des chemins browniens. Il faut souligner que dans (12.45)
ou (12.48), on intègre sur tous les chemins possibles tels que x(t a )=x a et
x(t b )=x b , et pas seulement sur les trajectoires classiques, celles qui obéissent
aux équations du mouvement ! Le formalisme de l’intégrale de chemin fait
intervenir uniquement des quantités classiques, des nombres et des fonctions.
Il offre une formulation alternative de la mécanique quantique, où n’interviennent ni les espaces de Hilbert, ni les opérateurs.
Les trajectoires classiques x cl (t) (il peut y en avoir plusieurs) sont celles
qui rendent l’action stationnaire
δS
δx(t)
x(t)=x cl (t)
=0
(12.49)
Considérons un chemin x(t),s o i tS l’action correspondante et supposons
S ≫ .S i|S − S cl |≫, alors le facteur exp(iS/) oscille un grand nombre
de fois quand on passe de x cl (t) à x(t), et un tel chemin va contribuer de
façon négligeable au propagateur K. Lorsque l’action classique est grande par
rapport à , l’intégrale de chemin est dominée par les trajectoires proches des
trajectoires classiques, et on pourra envisager un développement en puissances
de autour de ces trajectoires. En physique statistique, l’approximation correspondante est l’approximation de Landau.
Une application importante des intégrales de chemin est l’écriture des produits ordonnés dans le temps d’opérateurs, aussi appelés produits-T d’opérateurs. Considérons l’élément de matrice suivant pour t>t
′
F (x b ,t b ; t, t
′ ; x a ,t a ):=x b |e
−iH(t b −t)/ X e
−iH(t−t
′ )/ X e
−iH(t
′
−ta) |x a t> t
′
(12.50)
où X est l’opérateur position, et choisissons le chemin en zig-zag de la
figure 12.1 pour évaluer cet élément de matrice. Comme x j est la position
de la particule au temps t j , x j = x(t j ), nous obtenons en introduisant un
système complet d’états propres de X
dx j X|x j x j | =
dx j x j |x j x j | =
dx j x(t j )|x j x j |
Mais nous pouvons exprimer F en terme de l’opérateur position dans la représentation de Heisenberg
X H (t)=e
iHt/ X e
−iHt/
(12.51)
en définissant |x, t par
|x, t = e
iHt/ |x
(12.52)
Lorsque t>t
′ , F s’écrit
F = x b ,t b |X H (t) X H (t
′ )|x a ,t a